Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(1.48)
и,0 1 "пп,0еи,1>
пп, 1
п et,.0 " °?<А>.1 ("1 = 2)--*
2(7
Поэтому далее в качестве второго основного предельного случая условий
контакта (наряду с (1.46)) для линейных задач будем рассматривать условия
свободного проскальзывания:
(и(1) + г0) + и(1) , "и) + (и(2) + г(2) + ц(2) ^ ^ = 0>
'* 2* (1.49)
пп
= сР] 7*0) - т<2)
п,* п п/ т п,* т
FL
= 0.
Решения контактных задач, полученные для двух указанных предельных
условий контакта, могут служить оценками сверху и снизу напряженно-
деформированного состояния взаимодействущих тел в реальных условиях
контакта (1.44) и (1.46).
§ 1.5. Уравнения движения упругой анизотропной среды
В качестве одной из возможных моделей деформируемых сред,
используемых в контактных задачах, рассмотрим однородную анизотропную
линейно упругую среду. Во многих вопросах контактного взаимодействия
необходим учет более сложных свойств сплошной среды: неоднородности,
вязкости и в первую очередь пластичности. Однако по крайней мере на
начальны*; этапах соударения пологих тел их напряженно-деформированное
состояние подчиняется уравнениям линейной теории упругости. Рассмотрим
произвольную криволинейную систему координат с базисом е.. Выберем в
качестве системы функций <р.,
определяющих состояние среды, компоненты тензора напряжений а*"1, тензора
малых деформаций е1* и координат вектора упругих перемещений и.. Согласно
модели линейной теории упругости [6,
24
89, 125, 136, 147, 166, 209] оператор L в (1.26) определяется следующими
соотношениями:
уравнения движения при отсутствии массовых сил
V^m = рит, (1.50)
связь тензора деформаций е^т и вектора перемещений
?кт = |(УЛп + Vmu*)> (1-51)
закон Гука
акт = Ckmije^ (1>52)
Здесь р-плотность среды, Ckmii-контравариантные компоненты тензора
упругих постоянных среды-тензора четвертого ранга. Из 81 компоненты
последнего в силу симметрии тензоров с^т и
ект, а также при рассмотрении адиабатических или изотермических
процессов, различными являются лишь 21 компонента:
Qkmij _ Qtnkij _ gkmji _ Qijkm ц
Соотношения (1.50)-(1.52) для однородных сред с учетом
симметрии тензора скт^ позволяют исключить тензор деформаций и записать
уравнения движения упругой среды в перемещениях:
С
•kmiJV,Vju, = рйт, CkmiJV.Ui = окт. (1.54)
К I / I J
Уравнения (1.50)-(1.52) или (1.54) совместно с соответствующими
начальными и граничными условиями определяют начально-краевую задачу.
Пусть среда занимает область G, ограниченную поверхностью П = 0G.
Основные два типа граничных условий, обычно рассматриваемые в теории
упругости, заключаются в задании на П перемещений
и\ = и1еЛ = ип, (1.55)
jn 1|п 0
или напряжений
т"|п - П'|1п " ТМ - Пл < " <1Й>
где п-вектор внешней единичной нормали к поверхности П.
Как будет показано ниже, для используемых в книге методов решения
контактных задач рассмотрение этих двух типов граничных условий
оказывается достаточным. Хотя возможны и другие варианты граничных
условий. Они определяются из принципа Гамильтона. Для среды, находящейся
под действием
25
внешних поверхностных сил TnQ, первая вариация интеграла действия равна
нулю [136, 147]:
Здесь Т-кинетическая энергия, U-потенциальная энергия упругих деформаций
среды, А-работа внешних сил. Их вариации определяются так:
Первое слагаемое в правой части (1.57) равно нулю в силу уравнения
движения (1.50). Следовательно, граничные условия на поверхности П должны
задаваться так, чтобы обеспечива-ъ равенство нулю второго интеграла. В
частности, условия (1.55) или (1.56) этому требованию удовлетворяют.
В зависимости от свойств тензора ckmii различают пря-; молинейную и
криволинейную анизотропию. Эта классификация! связана с сохранением
независимости компонент тензора от пространственной точки в различных
системах координат. Сначала рассмотрим анизотропную среду в прямоугольной
декартовой j системе координат ОхВ этих координатах ковариантные и
контравариантные компоненты тензоров совпадают с физи-i ческими
компонентами. Уравнения (1.50) - (1.52) приобретают! следующий вид:
|
t t
з/ (Т - и + A) dt = / dt fff (-pum + v/m) duJG +
0 ОС
t
0 П
G
G
(1.58)
dA = IS (TtiO' 6u) ds-
II
dokm ••
(1.59)
А уравнения (1.54) записываются так:
Ckmij дхкдХ; P"m' Ckmij i)X. °km'
d2u. du.
_____r -L
(1.60)
В прямоугольной системе координат для упругих постоянных наряду с
