Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
П?* " и Ды (к ~ 2)> nto: Й*}, if) С Dko,
• (1.43)
nte: V=l
Dku'
где параметрические уравнения для П^, и определяются
соотношениями (1.39).
Тогда снесенные на поверхности граничные условия
(1.18) с использованием обозначений (1.36) и (1.37) могут быть записаны
так:
("<¦> + $+ "<¦) п , "<¦)) + (""+ $> + и"> п , "(r)) = О,
7<1)
п.
_ у<2)
II
7<1)
> 1 ИТ
п.
tin
П.
ev'
Т<2)
tit
П
= -to<2>
пп
II
е , </*> "' ran
П <
ка
ev = vn/'vn' ' vn = vn} - vri2)>
(1.44)
i#> = *№ + ["(*), rg] + ijf
.(*)
П.
где учтено, что локальная производная dr^/dt относительно связанной
системы координат С^у^у^у^ равна нулю [33, 201 ]
дг(*) <5/*>
уП _ уП
а;
<5г
+
(1.45)
Обозначения в граничных условиях (1.44) имеют тот же смысл, что и в
формулах (1.13) и (1.18). Однако имеет место неопределенность в выборе
единичных нормалей п^к\ Возможны несколько в общем эквивалентных в смысле
вносимых погрешностей приближенных вариантов задания векторов п(кК
Например,
можно положить = -Л*-2'1 = я*-1-* или Л<2> = -п^ = п.(2\ где
* * Т * * Т
л"- внешние единичные нормали к поверхностям . В некоторых оговоренных в
§ 1.3 случаях, когда в качестве 22
смоченной поверхности выбирается Q С Р, допустимо считать, что л?> = -л^
= ву Для решения соответствующих начальнокраевых задач удобнее полагать
л^ =
Т
На поверхностях И. условия жесткого сцепления (1.19) в
линейной постановке имеют следующий вид:
" ит + г(?) + и(2)
< -кс№}
П С - ',П
1 и
(1.46)
l^'ln
пп
ки
, оЮ п, ' пп
ки
ки
<0.
Граничные условия (1.44) и (1.46) даже после снесения их на
недеформированные поверхности носят нелинейный характер и могут быть
реализованы специалными методами нелинейного анализа (например, методом
последовательных приближений). Наиболее просто в линейной постановке
может быть исследован предельный случай, когда на всей смоченной
поверхности реализуется жесткий контакт (П^ = П^). При этом условия в
(1.46), связанные с неравенствами, проверяются после получения решения.
Второй предельный случай, когда на всей смоченной поверхности
происходит контакт с проскальзыванием при наличии трения (1.44) (П^ =
П^), тоже приводит к нелинейной задаче.
Однако для вариантов малого трения (к < 1) можно предложить использование
метода малого параметра, который в то же время является некоторым
обоснованием использования в качестве нулевого приближения граничных
условий со свободным проскальзыванием (отсутствие трения). Для этого
представим решения соответствующих начально-краевых задач, в том числе
векторы контактных напряжений Т^ , их касательные и
нормальные составляющие, а также единичный вектор
относительной скорости смещения контактирующих поверхностей е , в виде
степенных рядов по малому параметру к:
Т<А) = Y 7<*) km <#) = V а{к) кт
т Zj m,m ' пп Zj nn,m '
m=0
m=0 m=0 (1.47)
m=0
23
Тогда вместо равенств, связывающих касательные и нормальные
составляющие в (1.44), получим следующую последовательность граничных
условий:
7^1) пт,О
т^У)
*m,l
7*0)
¦'пт,2
7Ч2)
1 пт, 2
= 7<2> П пт,О
П2а
= 0 (т = 0),
п.
п,
п.
о*1)
пп,0
пп, 1
е 7<2)
П1(Г v,0' яг,1
п
= -с/2) пп,0
11
ev,0 (т = !)'
П,