Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
задана следующими параметрическими соотношениями:
П, * %: г = rjg (#>, #>) (#f\ $f) е Dk*' <L39>
Несмотря на сделанное приближение, условия (1.39) по-прежнему являются
нелинейными, так как область D^ определяется
формулами (1.39) и зависит от деформирования граничных поверхностей.
Реализация геометрического соотношения, так же как и учет неравенства для
нормальных напряжений, в рамках линейных задач возможны с использованием
последовательных приближений. Заметим также, что в отличие от
поверхностей IIj и П2, имеющих общую часть Пф, поверхности П1т и П2т (и,
соответственно, и П^)
не соприкасаются, а пересекаются лишь по кривой аПт+ (рис. 1.3). При этом
естественно нарушаются условия связи между нормальными векторами в (1.13)
("<!) = - Л^), если ПОД !"<*> Рис. 1.3. Деформированные и недефор-
понимать единичные векторы мированные границы тел Gk(k = 1,2). внешней
нормали К поверх- Смоченная поверхность и ее проек-НОСТЯМ Пь. УСЛОВИЯ
равенст- ции и Q на поверхности и плос-
ва нормальных и касатель- кость р
ных напряжений в граничных условиях (1.18) выполняются только
приближенно. Однако допускаемая при этом погрешность имеет тот же
порядок, что и сделанные выше упрощения.
В качестве нулевого приближения для определения в
случае малых перемещений (|ип^ ~ "г?! < |гПт - гПт |)
границу можно определить как линию пересечения поверхностей (см. рис.
1.3):
Параметрическое представление П^ в этом случае имеет по
прежнему вид (1.39) при замене на
При вычислении сил и моментов в формулах (1.21) с той же точностью
поверхность П+ должна быть заменена на поверхность
П^. Ошибка, допускаемая при этом, определяется не только
приближенным заданием смоченной поверхности (изменением
соответствующей метрики), но и снесением вектора напряжений
с поверхности П+ на П^. Рассмотрим этот вопрос на
примере вычисления результирующей контактной силы Согласно правилам
вычисления поверхностного интеграла и с использованием параметрических
представлений поверхностей
и П^ ((1.38) и (1.39)) получим
M(V = Jf7f) dS = ff7f) dS + ek,
п.
п.
?к = Я ^ dS ' Я ^ dS = Я ^ П AS(k) d^\k) ^2 +
П* П*.
+ J*/ Д7dl-f dl-f + // A7<%SW dgf> d^\ AS(k) = S - S(k\
(1.41)
AT'W - f(k) fl fl
П 1n
П
s-VCnCjj-Gfj, s<*) = Vg,
°>r
o<*).
Пт
Щку Щк)
Здесь G.j и G^p-коэффиценты первых квадратичных форм
поверхностей П+ и П^, определяющие метрику этих поверхностей;
-абсолютная ошибка замены поверхности П^ на П^. Из (1,41)
следует, что е.^ является малой величиной более высокого порядка,
чем первое слагаемое. И поэтому в линейных задачах может быть опущено.
При определении границы смоченной поверхности П,^ по приближенным
формулам (1.40) при условии, что области и
Dkt> отличаются мало, порядок ошибки ек сохраняется, и она определяется
так:
Ч = If | п 5 ЯР + Я п s(k) dt[k) d?k) +
1 k*
+ ff AS(k) dtf(r) +
v(tm)*/ n-
+ // Al^S^d^ dt№ + // AT^AS^d^d^. (1.42)
D HD D HD
к* Ат* k* At*
Если для одного из соударяющихся тел поверхность -плоскость, то
соответственно и фиктивная смоченная поверхность является плоской
областью. В тех случаях, когда одно из тел
является сильно пологим в зоне контакта (радиусы кривизны поверхности
много больше ее диаметра), поверхность П^
может быть приближенно заменена, например, на плоскость Р^,
касательную к П^. в точке первоначального контакта тел и
жестко с ней связанную. Тогда поверхность при решении
соответствующей начально-краевой задачи и при вычислении контактных
усилий может опять же считаться плоской областью.
Кривизна граничных поверхностей при этом учитывается только в
геометрических условиях типа (1.39) или (1.40). Если дополнительно
рассматриваемое тело совершает небольшие отклонения от первоначального
положения, то приближенно можно
отождествить с плоскостью Р (см. § 1.1), а смоченную поверхность -с
плоской неподвижной областью Q в (1.12) или в
нулевом приближении с областью QT С Р, где граница dQT есть
проекция дП[4 на плоскость Р (см. рис. 1.3). Погрешности,
допускаемые при этом, будут иметь тот же порядок, что и в формулах (1.41)
и (1.42).
§ 1.4. Линейные условия контакта
В предыдущем параграфе рассмотрен геометрический вопрос о
линеаризации контактной задачи-замена действительной смоченной
поверхности П+ на фиктивную П^. Соответственно и
гпзничнке условия (1.18) и (1.19) должны быть снесены на
"сдеформированные поверхности. Аналогично (1.17) поверхности ;7,Чн '¦!
обшем случае необходимо представить в виде объединения
двух участков, а которых реализуются условия проскальзывания с трением и
жесткого сцепления:
