Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
1 1
= Г sin в~дб+ 7(иг + ив ctg е)'
\( 1 ди ди0 ug\
2^rsin0 Эг г у
_i 1 ац<л
2^r t>0 г и& г sin 9 ddj'
" 2\ дг г г дв)'
Закон Гука в сферических координатах совпадает по форме с законом
(1.77) в декартовой системе координат, если положить, что индексы к, т,
i, j принимают значения г, в, д.
Глава 2. ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ
ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
Необходимым предварительным этапом исследования контактных задач
является решение соответствующих начально-краевых задач для
взаимодействующих тел при заданных поверхностных нагрузках. Рассмотрение
граничных условий несмешанного характера позволяет понять некоторые
качественные стороны процесса динамического взаимодействия и, кроме того,
найти вспомогательные решения, на основании которых может быть построен
алгоритм решения задач со смешанными граничными условиями, а также
контактных задач. В настоящее время наибольшие успехи в решении задач с
заданными граничными условиями достигнуты для упругого полупространства.
Большое значение при исследовании линейных динамических задач имеют
так называемые функции влияния, соответствующие сосредоточенным силовым
или кинематическим воздействиям. В математическом плане функции влияния-
решения соответствующих начально-краевых задач для деформируемой среды
при задании на границе одной из компонент перемещения или напряжения в
виде дельта-функции Дирака по пространственным координатам. Знание
функций влияния позволяет представить в интегральном виде решение задач с
заданными граничными условиями несмешанного характера или построить
интегральные уравнения для условий смешанного типа и контактных задач.
Впервые задачу о динамике упругого изотропного полупрост-панства при
задании в виде дельта-функции нормального напряжения на его границе
рассмотрел Н. Lamb [268]. В современной литературе она носит название
задачи Лэмба.
Решение плоской задачи Лэмба приведено во многих работах. Как
правило, для построения решения используются интегралные преобразования
Лапласа и Фурье [120]. Различными являются методы построения оригиналов.
В монографиях Л.И. Слепяна [179], Л.И. Слепяна и Ю.С. Яковлева [182]
совместное обращение преобразований Лапласа и Фурье Проведено с
использованием однородности изображения и аналитического пред-
41
ставления обобщенных функций. В работах [179, 180] оригиналы найдены
приближенно с помощью метода асимптотически эквивалентных функций,
получена асимптотика решений в окрестности фронтов упругих волн. В
монографиях В.Б. Поручикова [144],
В.З. Партона и П.И. Перлина [139] приведен метод вычисления оригиналов с
помощью -деформаций контура интегрирования в интегралах обращения (метод
Каньяра в модификации де Хупа [237]). Аналогичные методы использованы в
статьях [106, 140]. В книге [144] дано также решение с использованием
метода функционально-инвариантных решений. Плоская задача Лэмба
рассмотрена также в монографиях А.Я. Сагомоняна [160] и Е.И. Шемякина
[209].
Для пространственной задачи Лэмба в силу ее осесимметричного
характера наряду с преобразованием Лапласа по времени применяется двойное
преобразование Фурье (или преобразование Ханкеля) по пространственным
переменным [179, 194, 223, 240, 283]. В работе [144] для построения
решения используется связь плоской и осесимметричной задач. В статье
[267] применяется численный метод, основанный на аппроксимации
производных по пространственным переменным с помощью быстрого
преобразования Фурье. Решение осесимметричной задачи с использованием
понятия интегрального преобразования, порожденного двумя другими,
получено в [188]. Здесь же построена функция влияния, соответствующая
напряжениям, сосредоточенным на окружности. Аналогичный вопрос рассмотрен
в статье [1].
Приближенное решение задачи Лэмба для несжимаемой среды дано в работе
[98]. Эта же задача для магнитоупругой среды рассмотрена в [13].
Различные аспекты определения функций влияния, связанные в основном с
законами изменения внешних возмущений во времени и типами функций
влияния, исследованы в работах [22, 67, 71, 240, 263, 264, 281, 291].
Естественным развитием задачи Лэмба является задача о сосредоточенных
воздействиях, движущихся по границе полупространства по заданному закону.
Наиболее просто решаются стационарные задачи при равномерном движении
нагрузки и независимости ее от времени. В этом случае задача становится
автомодельной, размерность ее понижается на единицу с помощью перехода к
подвижной системе координат. Эти вопросы исследованы, нацример, в работах
[17, 244, 270]. Нестационарные плоские задачи при равномерном движении
сосредоточенной нагрузки рассмотрены в [220, 258, 274]. При этом удается
использовать фактичеки тот же математический аппарат, что и для
неподвижной нагрузки. Отмечается различный характер решения в различных
