Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
модели, описывающей движение сплошной среды. Для рассматриваемых в книге
динамических контактных задач в рамках математической формулировки
приводятся уравнения движения упругой и акустической сред и абсолютно
твердого тела. Достаточно подробно исследуется вопрос о возможности
построения решения для анизотропных упругих сред.
§ 1.1. Постановка контактных задач для деформируемых тел
Предположим, что две сплошные среды занимают геометрические области Gj
и G2, ограниченные поверхностями
дGk = П^0 (к = 1,2), соответствующими недеформированному состоянию тел.
Для каждой из областей введем в общем случае криволинейную систему
координат > как правило,
Рассмотрим такие задачи взаимодействия, когда в начальный момент
времени t = 0 тела находятся в недеформированном состоянии, и, как
правило, поверхности П|() и П20 соприкасаются
в некоторой точке О в пространственной задаче или по прямой, проходящей
через точку О, в плоском случае (П^-цилиндрические поверхности). Это
возможно, если, например, обе поверхности П^-гладкие выпуклые, или П)0-
плоскость, а
(1.1)
7
П20-выпуклая. Положим, что через точку О можно провести плоскость Р,
являющуюся касательной к поверхностям П10 и П2{). Будем далее также
использовать инерциальную прямоугольную декартовую систему координат Oxс
базисом et,
оси которой Охх и Ох2 лежат
в плоскости Р, а ось
направлена в сторону первого тела (рис. 1.1). Для плоской задачи ось Ох2
направлена по
общей образующей цилиндрических поверхностей П^. Вообще выбор
инерциальной системы координат достаточно произволен и диктуется
особенностями задачи. Она может быть криволинейной. В том числе такой,
что одна из ее координатных поверхностей Рх
соприкасается в точке О с
поверхностями П^.
Например, в случае, коща тело G2 является абсолютно
жестким, a -деформируемое, может быть использована криволинейная система
(хх, х2, х3), совпадающая в начальный момент времени t = Ос системой
: х. = \ f=Q.
В процессе взаимодействия тела Gk перемещаются, деформируются.
Положение каждой точки (^[ \ ?3^) е ^ в
произвольный момент времени t определяется радиус-вектором № в системе
координат Ох^х^
г • Г(*>(?<4 ?<*>, =
= #>$*>,4*), If) (1.2)
& = #Ч> W = *84 ^ = "<*4
где -вектор перемещений, вектор характеризует начальное
положение точки. Здесь и далее по повторяющимся латинским индексам
производится суммирование от i = 1 до i = 3. Отметим,
что тройка чисел фактически является лагранжевыми
координатами точки.
Для определения закона движения (1.2) точек сплошных сред необходимо
задать уравнения движения:
•••'*$)=0- <L3> Система функций \р^\ полностью определяет состояние
к-й среды.
Операторы L^ определяются выбором математической модели
среды и могут иметь вид дифференциальных операторов в частных производных
(например, акустические, упругие среды, тонкие оболочки), обыкновенных
дифференциальных операторов (абсолютно жесткое тело), интегро-
дифференциальных операторов (наследственные модели) и т. д. Положим, что
система функций
однозначно задает вектор смещений каждой точки среды:
"<*>({" -<>(*,",..., "#"), "•<>
В дальнейшем ограничимся такими моделями сплошных сред, состояние
которых определяется тензорами деформации ejp и
напряжения oj^ (не учитываются термодинамические процессы,
не рассматриваются многокомпонентные среды и т. д.). Физический закон
связи этих тензоров считается заданным [6, 89, 125, 136, 166]:
о^=№(?Щ. (1.5)
ij \ mnj
Тензор деформации связан с вектором перемещений w
известными соотношениями механики деформируемого твердого
тела
е<*> = А (у.ш(к) + УjWf) + Vi.w2?V/w(*)m) , (1.6)
где V.iyW и V'W(k)m-коварианхные производные ковариантных и
контравариантных компонент вектора
Будем считать, что порядок операторов таков, что для корректной
постановки начальной задачи для &-й среды достаточно задать в начальный
момент времени перемещение и скорость:
^ | ;,,0 = 0, | f=0 = vj*>. (1.7)
Совокупность соотношений (1.3)-(1.7) не является замкну-т°й- К ним
необходимо добавить условия контакта сред, которые в математической
постановке задачи сводятся к заданию граничных условий (трехмерная
деформируемая среда), давления или Результирующих контактных сил и
моментов, входящих в операторы L,^ (тонкие оболочки, абсолютно жесткое
тело).
Обозначим поверхности, ограничивающие тела Gk в произвольный момент
времени t > О, = dG^. Контакт двух тел
проходит по части этих поверхностей-"смоченной" поверхности (области
контакта) С П^. На остальных ("несмоченных")
частях поверхностей могут быть заданы внешние поверхностные
усилия ( -единичный вектор внешней нормали к поверхности
