Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
тензорными обозначениями иногда удобно использовать симметричную матрицу
С [119, 125]:
с = с с = С С = с С14 = с
'-'и °111Г 12 1122' 13 1133' 1123
С15 = С1113> С16 = С1112> С22 = С2222> С23 = С2233
С = С с С С = Г С33 = г
w24 2223' 25 2213' 26 2212' 3333
С34 ~ С3323' С35 = С3313' С36 = С3312'
С44 = С2323' С45 = С2313' С46 = С2312'
Г = С с = С С = с
55 1315' 56 1312' ^66 1212*
При некоторых ограничениях на упругие постоянные системы уравнения
(1.50)-(1.52) или (1.54) относятся к гиперболическому типу. Для упругой
анизотропной среды скорости распространения возмущений в различных
направлениях различны. Например, в случае прямолинейной анизотропии
система (1.60) допускает функционально-инвариантные решения в виде
плоских волн [147]:
Ui = fi(ct-lkxk), I = If:, (1.62)
где f.(x)-произвольные дважды дифференцируемые функции;
с-скорость распространения плоской волны в направлении вектора l\ =
const-уравнение плоскости с нормальным вектором I.
Подстановка (1.62) в уравнения (1.60) приводит к однородной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
{D~pc2E)f = 0, D = (dmj)3x3, (L63)
f ~ Vvfvh) ' ^mi = ^kmij Цк'
где Е-единичная матрица, значок "т" означает операцию транспонирования.
Система (1.63) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда
| D - рс2Е\ =0. (1.64)
Так как потенциальная энергия упругих деформаций U является
положительно определенной квадратичной формой [6,
547 !
О, (1.65)
то D-матрица простой структуры и имеет только неотрицательные собственные
значения
гк=рс2к (к =1,2,3). (1.66)
Таким образом, в каждом направлении I в линейной анизотропной среде
распространяются плоские волны со скоростью С
к
27
Во многих задачах практический интерес представляет не общий случай
анизотропии, а различные варианты симметрии среды (тензора СШ?' Тензор
Скт,^ обладает симметрией, если он
допускает группу ортогональных преобразований координат {Ра},
содержащую не только тождественное преобразование, такую, что компоненты
тензора инвариантны относител "но любого преобразования Р [166].
Классификация симметр ш средь? проводится
по типу этих групп. Ее же связывают с руппам! симметрии кристаллов-
классами сингонии. Существукгг 7 классов симметрия тензора Ckmi. с
различным числом упругих постоянных.
Например, общий случай анизотропии (21 постоянная)-три-клинная сингония и
т. д. Укажем. некоторые наиболее распространенные типы симметрии
анизотропной среды. Более подробную информацию о классификации можно
найти, например, в [119, 125].
1. Симметрия относительно плоскости Ох^х^-13 констант
(преобразование-зеркальное отображение относительно плоскости Ох^):
с - с = с = г = с = с =
1112 1123 2223 2212 ^3323 3312
= С2313 = С1312 ~
2. Ось симметрии второго порядка Ох3-13 констант
(преобразование-поворот относительно Ох^ на угол (2л)/2):
с = с = с = с = с = Г =
1123 1113 2223 2213 3323 3313
- С23,2 * СШ2 - "• "•">
Здесь же имеет место симметрия относительно плоскости °хххг
3. Ортотропная среда-симметрия относительно двух плоскостей и
Ох^х^-9 констант. Здесь же имеет место
симметрия и относительно третьей плоскости Ох^х^. В дополнение к
равенствам (1.67) обнуляются следующие константы:
С1113 = С2213 = С3313 = С2312 = (1-69)
4. Ось симметрии третьего порядка Ох3-7 констант
(преобразование-поворот вокруг оси Охз на угол (2л) /3):
= С3323 = С3313 ~ ^3312 = ^2313 =
= С1312, "С1113 = С2213 = С2312' ц ?0)
С1133 = С2233'
С1212 = 2^1111 " CUZ2>'
28
С1112 " С2212
С1123 ~ С2223
СШ1 = С2222>
с = С
2323 ^1313'
5. Ось симметрии четвертого порядка Ох^-7 констант
(преобразование-поворот вокруг оси Ох3 на угол (2л:)/4). Здесь в
дополнение к (1.68) необходимо положить
С1323 = С3312 = О* С1111 = С2222> С1133 = С2233' /, 7П
л _ л л _л 11./1/
2323 " L1313' 1112 " 2212'
6. Трансверсально-изотропная среда-ось симметрии шестого порядка-
5 констант (преобразование-поворот вокруг оси Ох3 на
угол (2л)/6). В этом случае допустимым является поворот вокруг оси Оде3
на любой угол (ось симметрии бесконечного порядка).
Все направления в плоскостях = const являются эквивалентными (имеется
плоскость изотропии). Здесь к соотношениям для ортотропной среды (1.67) и
