Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
ротора rot в декартовой системе координат опреде яется так:
rot V"
'1
е2 е3
dXj дх2 дх3 Ч'г Ч>2 4>ъ
Ч> = '/'Л-
(1.86)
За
С использованием представления (1.85) уравнения движения изотропной
упругой среды при отсутствии массовых сил сводятся к системе однородных
волновых уравнений относительно потенциалов f и [6, 166, 179]:
Здесь Cj и с2-скорости распространения волн растяжения-сжатия
и сдвига. Третье уравнение в (1.87) добавлено для возможности
однозначного определения потенциала у". Вообще оно может быть заменено
другим уравнением, обеспечивающим условие однозначности.
Система уравнений (1.87) позволяет отдельно строить решения для
каждого из уравнений. Однако при исследовании краевых задач их приходится
рассматривать совместно, так как функции <р и ц>, как правило, связаны
граничными условиями. Типы граничных условий для полупространства, для
которых волны растяжения-сжатия и сдвига распространяются независимо,
приведены, например, в статье [196].
С однородной изотропной линейно упругой средой логически связана
модель акустической среды, являющейся частным случаем идеальной жидкости.
Последняя характеризуется тем, что тензор напряжений является шаровым
[166]:
где ст?* и д(tm)-смешанные компоненты тензора напряжений и
единичного тензора Кронекера.
В формулах (1.88) р-давление в жидкости. Выбор знака обусловлен тем,
что положительным считается напряжение сжатия. Идеальная жидкость в
основном находится в сжатом состоянии (р > 0) и на растяжение без потери
сплошности работать не может.
Под акустической средой будем понимать идеальную барот-ропную
жидкость, в которой изменения давления, плотности, скорости и их
производных по времени и пространственным координатам относительно
некоторого невозмущенного состояния малы. Уравнения движения акустической
среды можно получить при соответствующих предположениях из уравнений для
идеальной жидкости [105, 126, 166]. В то же время акустическая среда
может рассматриваться как частный случай изотропной линейно упругой
среды, не сопротивляющейся сдвигу. Полагая в (1.77) = 0 и = 0 (отсутствие
сдвиговых волн), найдем
'1 2
CjAy> = <р, с2Ау> = ф, div ^ - 0,
(1.87)
(1.88)
°кт = Д/Ат> " = 6rad <Р* Л = div "
32
Отсюда с учетом уравнений (1.87) получим
Я 2 Л
°кт = Я div(?rad = "Лм + С1 " р- 0 Я9)
С1 ' лаесь р-плотность жидкости в
невозмущенном состоянии, с\-
корость звука. Последняя совпадает со скоростью звука, получа-. мой с
помощью линеаризации уравнений движения баротропной
идеальной жидкости с* = dp! dp.
В динамике акустической среды обычно рассматриваются место
перемещения и вектор скорости жидкости в точке v и место потенциала
перемещений <р потенциал скоростей Ф:
у - й, v = grad Ф, Ф = <р. (1.90)
Из уравнений (1.87) и соотношений (1,83)-(1.90) следуют лишение
движения акустической среды
г^АФ - Ф (1.9?)
связь давления р с потенциалом скоростей Ф
р = ~рФ. (1.92)
Отметим, что уравнение (1.91) может быть получено из :н'темы (1.87).
если в ней осуществить предельный переход . 0 (ju -* 0) и учесть
(1.90).
Основные два типа граничных условий, рассматриваемые в . г-пи
течения идеальной жидкости, сводятся к следующим, -ть акустическая: среда
занимает область С, ограниченную ерхностью П = 3G с единичным вектором
внешней нормали п. ¦Тца на границе П задается нормальная составляющая
скорости
Эф [
~Эп\ = *"•' * (V' Я)' (L93)
I п
i r давление v : n
/•jr,=pn, d-94'
: -с ОФ/дп-производная потенциала Ф по направлению вектора
п.
Отметим, что граничные условия (1.93) и (1.94) с использованием
с(Х)тветствук>щего предельного перехода вытекают из 1' ..Ъ> и (1.56).
В контактных задачах с учетом линейности модели акустической среды
есть смысл рассматривать линеаризованные устовия контакта. При
взаимодействии деформируемою (или абсолютно жесткого, ц(') = 0) тела (к =
1) и акустической среды (к = 2) z- А Г.1 оршков, Д.В.Тардаковский
33
возможны только условия свободного проскальзывания. Из (1.49) с учетом
обозначений (1.44) и формулы (1.93) будем иметь
{vn^ni*) +v"2)|n2 = °' vW = + r-^>, г!
[•(1). гЩ + iff
