Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
<1.109)
и0 = 0, иг ~ Ur(r, Х3, 0, и3 = и3(г, Ху t),
7,,р = ХУ 0. *<ф = toft' Х3> О-
Для анизотропной среды решения вида (1.109) существуют миг, для
определенного типа цилиндрической анизотропии, '.налогичный факт имеет
место при переходе к плоской задаче § 1.5). Подставляя (1.109) в (1.104)
и (1.105), получим
1(диъ диг\
011'
= 1)7' ег3 = 2 (Тг~ + дх.
Ёао -
3/
тъ
f33 ~ 9^' ?тв = Чъ ~
(1.110)
,}'Ф ~ CaPrrerr + Ссф22евв + Сй/Ш?33 + 2Са/?гЗ?гЗ*
Левая часть второго уравнения в (1.103) для осесимметричной задачи
должна быть тождественно равна нулю. Отсюда следует, что осесимметричная
даформация возможна для анизотропных
37
сред, удовлетворяющих следующим условиям (13 различных упругих констант):
СгвгА ~ Сме ~ С№3 ~ Сп03 -
= с
г9вЗ
'вввъ
с,ззз = °. (1.111)
При этом = ст = 0. Соотношения (1.111) аналогичны
формулам (1.67) для декартовой системы координат и означают симметрию
упругих констант относительно координатной поверхности в = const.
Частными случаями указанной симметрии являются среды, обладающие
соответствующей симметрией более высокого порядка: цилиндрически
ортотропная, трансверсально-изотропная среда, цилиндрическая "кубическая"
симметрия (ср. с (1.69), (1.72), (1.73)) и, естественно, изотропная
среда.
Введем дополнительно к (1.81) и (1.99) безразмерные величины:
Ua , асф С-
а а =
ар
1 ' рЛ
ajiy&
af}y&
Т'
Р*с*
Г =
L"
(1.112)
Тогда в безразмерном виде уравнения осесимметричного движения
анизотропной среды запишем так (штрихи опустим):
дх3
да,
д 1 ,
д? + 7 агз+
дх
(1.113)
33 2-
= У и3-
Связь перемещений и деформаций и закон Гука определяются соотношениями
(1.110).
Для изотропной среды в случае осесимметричной задачи в безразмерном
виде из (1.107), (1.108) и (1.110) получим уравнения движения
А<р = rftp, 1Щ -\ = rfy>, г
Уг = Ч>з = °> VV = V". л
дг'
: + 1± + 2 г дг
dxi
(1.114)
связь перемещений и потенциалов
_ д<р дгр
Ur дг дхз'
_ -Ё?_ j 1 д№) дх3 г дг '
связь напряжении и перемещении
(1.115)
о = В
ГГ Г1
'ди (иг 'ди. (ди и) -
--- + к - + ~ ' °33 ^1 _1 + ус -JL + JL
дг (г dxj ."*3 \ дг r J -
38
О,
т
Pi
+ к
1диг ди,
-I + -1
дг дх^jj
г дцЗЧ
dx, дг 3 /
(1.116)
Плоская задача (решения не зависят от координаты *3) для
. отропной упругой среды в цилиндрической системе координат, и.: следует
из (1.104), (1.107) и (1.108), описывается следу-, i ими безразмерными
соотношениями: уравнения движения
Л<р = Tjx!p, Aip = r}2ip, грг = грв = 0,
¦J.
У'з - т)> А - ^2 + г дг +
_2 ^2'
1 д
1 а2
г дв
связь перемещений и потенциалов д<р I dip
Ur Эг + г дв'
_ \_д<р <Щ>_ _ п
ив~ г дв дг ' "З - °*
(1.117)
(1.118)
связь напряжений и перемещении
7 =/3,
ГГ r 1
ди
дг
ди
д"е
ст,з = °ез = °'
-г 1 (dUL '
c7w = ^!a:V + 7'~ + u
J.
тзз Р\к
диг j (дие
dUa
-в (l 9Ur , *
Л# n f d$ $r
Ug
r
(1.119)
Б. Сферические координаты г, 9, -д связаны с прямоуголь-' и
декартовыми координатами так:
= г sin в cos д, хг = г sin в sin д, x3 = rcos&. (1.120)
В этих координатах рассмотрим изотропную упругую среду, ДЛЯ которой
из (1.87) можно получить скалярные уравнения
движения:
Г1 А(Р =
.2 * . 2 , 2
<•2 \AVr-^r-^-Z г г sin в
д ^9
(грв$тв)+
39
Связь между перемещениями и потенциалами следует из соотношений
(i.85):
"г - в? + TiiHe - ж]'
1 ау> 1Г 1 а"г
ив г дв rlsinfl дО J
1 д<р 1 pC'V'g) !
м# e г sin в дб + г I дг дв J '
" * "Л + ивев +
Физические компоненты тензора деформаций (а, (} =
- г, в, А),как вытекает из (1.51), выражаются через перемещения так:
<4
ггг~ дг' еЮ~ г[дв иг)'
