Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
v(2) = дф(:2\ п п дп '
I*
(1.95)
При этом' смоченная поверхность П^ определяется формулами (1.38), а
ее приближения П^ соотношениями (1.39) или (1.40), где с учетом (1.36) во
многих случаях необходимо положить t
г(2) = "(2) = Г "(2) dt г(2) = (2)
Пт "П J у Пт Г0П' Р
0
П*
> 0.
(1.96)
При использовании уравнений движения среды в потенциалах (1.87) или
(1.91) начальные условия вместо (1.35) удобнее задавать также
относительно упругих потенциалов смещений <р и гр или потенциала
скоростей жидкости Ф. Если в начальный момент среда находится в
невозмущенном состоянии, то начальные условия имеют следующий вид:
упругая среда
<p\ " = V = 0,
t=0 t=0 t= 0
акустичекая среда
Ф = Ф
f=0 f=o'
?=о
= 0, (1.97)
(1.98)
В дальнейшем в дополнение к равенствам (1.81) будем использовать
следующие безразмерные параметры (штрих обозначает безразмерную
величину):
*¦.1- * у'=Л
f LV V ? 'Л
, р *
Л
р*с*
(1.99)
_ X + 2ц _ у . _ ц
^1 2 2' *"2 2 П, рс
рс2 • ¦ *
2'
ь
1 - * = 2
Тогда уравнения движения изотропной упругой среды (1.87) в
безразмерном виде запишутся так (штрих спущен):
hip = rfa, hxp=r]2ij>, div xj> = 0, rjx < t]T
(1.100)
34
Неравенство для параметров rj^ и г}^ записано с учетом
неравенства для скоростей и с2 в (1.87) и формул (1.99).
Для акустической среды из (1.91) и (1.92) получим еледующие
соотношения:
АФ = ^Ф, р = Ф. (1.101)
Формальный переход от уравнений (1.100) к (1.101) обеспечивается
вычислением пределов при 00 (с2 -* 0) с учетом
вязи потенциалов <р и Ф (см. (1.90)).
§ 1.7. Уравнения движения упругих и акустических сред в криволинейных
координатах
Применительно к рассмотренным в книге задачам остановимся на двух
криволинейных системах координат-цклиндри-и сксй и сферической.
А. Цилиндрические координаты г, в, г (рис. 1.4.) связаны с
0
Рис. 1.4. Цилиндрические коордчнаты г,,в,г
. !,!>ямоугольными декартовыми следующими соотношениями:
== г cos в, х2 - г sin 0, х3 = z, (1.102)
У[.ачнсния движения упругой среды в направлениях (1.50)
' .ют зид [6, 166]:
где а" и и (а, /3 - г, в, 3) - физические компоненты тензора
напряжении и вектора перемещений; е.,
и е,,
единичные
орты цилиндрическои системы.
Соотношения (1.51) приводят к следующей связи физических компонент
тензора напряжений и перемещений: ди
1
?гЗ ~ 2
__г
дг'
/
'гв
1 ди
I-1 +
г ье
д 1 дг г|""
е93 ~ 2
дг
toв
дх"
+
диг г дв
дип
ди,,
+ и,
(1.104)
!
Закон Гука для цилиндрически анизотропной среды совпадает по форме с
соответствующим соотношением в декартовой системе координат в (1.59).
если считать, что в него входят физические компоненты тензоров:
°кт = СктЦ гЦ (*" ш' *• j = г' 9> 3)> С
kmij
const.
(1.105)
Можно показать, что условиям цилиндрической анизотропии удовлетворяют
прямолинейно трансверсально-изотропные среды.
Для записи уравнений движения изотропной среды в цилиндрической
системе координат необходимо иметь выражения для операторов grad, div,
rot и оператора Лапласа Д:
'огда из (1.87) получим скалярные уравнения движения
z,
cxbtp - ф,
(1.107)
?2(ыг =vv
2 Ve 2 Vr 2
сг( + -2 = Vv с2Д^з = ^3'
iaW Л ^з _ n
r dr + г её + a^3 '
i из (1.85)-связь компонент вектора перемещений и и потенциалов <р и if>
_df 1^Ь_дЬ
11Г дг + г дв ~дх3'
- Ii*2L -hi _
дг '
(1.108)
dip 1 = -г- + - 3 Эх3 г
d(rpg) fopr дв
дг
В контактных задачах цилиндрическая система координат и пользуется,
как правило, в так называемых осесимметричных з аачах (напряженно-
деформированное состояние среды не за-ь сит от координаты в):
