Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
124 случай, когда ускорение ядра имеет механическое происхождение, т.е. внешнее электромагнитное поле отсутствует (<°М-=0). Тогда, учитывая (5.38) и (5.31), находим следующее выражение для оператора Гамильтона:
fr = Ca^Pw+ mc'? + 1 + -^r ^(а)</о)) -
где во — элементарный заряд; т — масса электрона; Zeо — заряд ядра. Из последнего выражения следует, что неинерциальные эффекты становятся сравнимыми с величиной расщепления тонкой структуры только при экстремально больших значениях ускорения (W^ 10|3м/с2) или угловой скорости ~ 107с~'), достижение которых механическим путем представляется маловероятным. Поэтому рассмотрим случай, когда ускорение обусловлено внешним электромагнитным полем (0) Bij, т.е. рассмотрим водородоподобный ион (с зарядом q и массой М), движущийся в этом поле. Сопутствующую систему отсчета одиночного наблюдателя выберем так, чтобы уравнение базисной линии (5.28) совпадало с уравнением мировой линии классической частицы массы M и заряда qy движущейся в электромагнитном поле {0) Bij. Из уравнения движения
)Ві І Dx с 1
получим
= -4- ?(a)(4),
M v '
где ul = d%/di, а коэффициенты В{а){4) определены в соответствии с формулой (5.39). Подставляя найденное выражение для ускорения «наблюдателя» в двухкомпо-нентный оператор Гамильтона (5.32) и учитывая соотношения (5.38) и (5.40), находим
^=^-+-2^^(^'- -?1°00) +
+ + +O2, (5.41)
125 где {0)НФ — двухкомпонентный оператор Гамильтона для свободного иона (с учетом членов, описывающих тонкую структуру). Если внешнее поле {0)Bij не является полем излучения, то величины Е(у)=В[х){4) и #(х)= = 1/2 e(x)(x)(v)?(t)(v) можно рассматривать как квазистационарные. Для невращающейся системы отсчета (QM=O) из (5.41) следует, что имеет место наложение квазистационарных эффектов Штарка и Зеемана, а неинерциальные эффекты имеют величину порядка mq/Meо, что для иона гелия (He+) соответствует дополнительной поправке к эффекту Штарка примерно в 0,1 %.
Глава 6
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
BO ВНЕШНИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ
В первые годы после создания общей теории относительности были известны лишь три эффекта, подтверждающие ее справедливость. В настоящее время в литературе обсуждаются уже десятки общерелятивистских эффектов, доступных для экспериментальной проверки [47, 110, 111]. Все известные эксперименты с точностью до десятых долей процента согласуются с предсказаниями общей теории относительности [111 —113], которую, следовательно, можно считать хорошо проверенной. Последнее, однако, относится лишь к классической области. В отличие от макроскопических общерелятивистские квантовые эффекты даже теоретически пока еще очень мало изучены. Дело в том, что, с одной стороны, влияние гравитационного поля на квантовомеханические системы, как правило, лежит за пределами возможностей современной экспериментальной техники [114, 115], а с другой — отсутствует хорошо развитый теоретический аппарат, позволяющий с единых позиций рассматривать такие эффекты. В этой связи представляется целесообразным полученные в главах 2—4 общие результаты специализировать таким образом, чтобы найти квантовомеханические уравнения в форме, удобной для непосредственного применения к расчету конкретных эффектов. Наиболее интересными, с точки зрения практических приложений, представляются следующие два случая: квантовая
126 механика в слабых гравитационных полях; квантовая механика в экстремально сильных гравитационных полях, но в свободнопадающей системе отсчета.
Квантовая механика в слабых гравитационных полях позволит описывать квантойомеханические эффекты, происходящие вблизи массивных звезд (например, синхротроннос излучение [1 16), поляризация испущенного атомами света [114] и т.д.). Определенный интерес для астрофизики .представляет вопрос о влиянии очень сильного гравитационного поля черных дыр на спектр аккрецируемого вещества. Наиболее просто эта задача может быть решена в сопутствующей, т. е. в свободно-падающей, системе отсчета.
§ 6.1. Квантовая механика в слабом гравитационном поле и обобщенная теорема Эренфеста
Слабое гравитационное поле. Рассмотрим систему медленно движущихся частиц, связанных гравитационным взаимодействием (например, планетарную систему). Для описания гравитационного поля, создаваемого этой системой на больших расстояниях от нее, удобно воспользоваться системой координат, в которой метрический тензор мало отличается от тензора Минковского [82] :
а) +o(-j-),
б) = + +К"?")' (6-І)
в, Яп= — [і + "р"(ф+ TT + -рг)] +о(-рг).
Коитравариантиые компоненты метрического тензора имеют вид
^'WM +2((7^) + 0(1/0, Г4 = с-Ча+0(1/сй), g »» = _ [ і _ 2Ф/с2 + 2 ((Р2 - X) /с4] + О (1 / с6).
Такое приближение метрики позволяет, как будет показано ниже, получить уравнения движения с точностью до членов порядка с"2. Последующие члены разложения уже в классической, неквантовой, теории приводят к дополнительным эффектам, лежащим далеко за пределами
127 экспериментальных возможностей [47, 110, 111]. Поэтому в дальнейших вычислениях ограничимся приближением (6.1), в котором гравитационное поле характеризуется двумя скалярными ср, % и одним векторным ?а потенциалами. Эти потенциалы могут быть найдены из уравнений [82]
