Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
и условий
Iim ф = Iimx= Iim ?а = 0,
Jf-V сю Jf-V OO x-*- OO
где использовано разложение тензора энергии-импульса
О I 2
fi = Tii + с-1 Tii + с":2 Tii + ....
Явный вид оператора Гамильтона в слабом гравитационном поле. В качестве гиперповерхностей f(k), входящих в квантовомеханические уравнения движения (см. § 2.3), выберем координатные гиперповерхности X4 = Const (Xc = Jc4). Это соответствует квазиинерциаль-ной системе отсчета, а координатное время к — собственному времени покоящегося в бесконечности наблюдателя.
Матрицы Дирака выберем исходя из условия y< = (-0,/2Y(4):
V--Vw(I--J)+О(тг).
Y4 = V(4)[l + -5- + ^r(q>42x)] + + > y(a) + °(jr),
V4 = Vil-^ +^г(Ф2-2 X)]+O(Jr).
что соответствует самому простому представлению — представлению с ортогональными базисными векторами (см. § 3.5). Подставляя эти матрицы Дирака в общее
128 выражение для оператора (1)7У (3.49) и учитывая его связь (3.42) с оператором Гамильтона в координатном представлении (.7Ґ), получим [101]
*= -ИІО + jTa-))+v+
+ ,„r'|}[| + JL ++(,,;-'-I-2x)]-
+ -IrCmtSlUa +0(±). (6.2)
В выбранном представлении справедливы следующие соотношения:
G= (1 + -77-). $-у-a<x)Y. ? = ? = - 'Y.I). a«x) = a(x)=Y(4)Y(x).
В двухкомпоиеитном приближении (см. § 4.3) оператор (6.2) имеет вид
H111 = CKNVK-1+ тК [ф(і + -?) +
-К\Т, К'1] +V, (6.3)
где
(6.4)
+ (6-6)
v=JL__jLNi__N^_j!tR + o(±) (6 7) 2m с Am2C' 8m V 4mr' +ЬЛс5/- 1 j
' В работе IIOII рассмотрен более частими случаи, ?a = 0
п З.ік і,; і s 129 При отсутствии внешнего электромагнитного ПОЛЯ (/I0 = O, V = O)*) из (6.3)-(6.7) получаем
+ -dh-[-rft2A4>+ {Лр2'+hWm р*<P-] -- ^T {Iх. Р.) + (6.8)
Последнее выражение для двухкомпонентного оператора Гамильтона в слабом гравитационном поле частично совпадает с независимо полученным Е. Фишбахом [114]. В приведенном в этой работе операторе Гамильтона отсутствует ряд членов, поскольку в работе [114] использовано формальное разложение метрического тензора в ряд по степеням 1/с. При этом не был учтен тот факт, что для получения уравнений движения и оператора Гамильтона с точностью до V2/с2 и 1 /с2 соответственно в метрике надо удерживать члены порядка 1 /с3 и даже
IA4 (ср. (6.1)).
Обобщенная теорема Эренфеста. Необходимым условием корректности квантовой механики является, как известно, выполнение законов классической механики после перехода к ожидаемым значениям. Поэтому ожидаемые значения операторов положения и спина электрона должны удовлетворять уравнениям Папапетру [117, 118], описывающим движение классической спиновой частицы во внешнем гравитационном поле. Под спином пробной частицы понимают ее собственный вращательный момент, впервые строго определенный М. Матиссоном [119] (уравнения Папапетру иногда также называют уравнениями Матиссона — Папапетру). Эти классические уравнения изучались в работах ряда авторов (соответствующую литературу см. в [120]), причем отмечалась их связь с уравнением Дирака [121 —127]. В частности, в [122, 123] высказывалось предположение, что уравнения Папапетру могут быть получены из общековариантного уравнения Дирака, а в работах [123, 124] с помощью квазиклассического приближения установлена определенная связь между этими уравнениями. Также было
Если АіФО, то опущенные в (6.8) члены можно восстановить с помощью выражения (4.42).
130 показано, что конвективная часть дираковского тока приближенно удовлетворяет уравнениям Папапетру [127] и что формальная интерпретация дираковских Y-m3tPhU Y1 как 4-вектора скорости согласуется с уравнениями Папапетру. Подробное изложение этого вопроса не является целью нашего исследования. Поэтому остановимся лишь на вопросе установления связи уравнений Папапетру с ожидаемыми значениями квантовомеханических операторов в слабом гравитационном поле.
Уравнения Папапетру, записанные в ковариантной форме, имеют вид (см., например, [70])
где S4 — антисимметричный тензор, описывающий спин пробной частицы. Система уравнений (6.9) становится замкнутой, если на тензор Sli наложить дополнительное условие. В литературе встречаются различные дополнительные условия (см. [120]). Их выбор определяется тем физическим смыслом, который вкладывается в понятие спина. Мы выберем условие Пирани [128] SijUi = 0, которое, как представляется, лучше, чем остальные, соответствует квантовомеханическом.у определению спина. Это условие позволяет ввести 4-вектор спина [129]
Выразив в уравнениях Папапетру антисимметричный
тензор S4 через вектор спина, получим
(6.9)
5 і 1 ^rsm., о
=--— UrOs
2 с
ортогональный вектору 4-скорости
SlUi = 0.
(6.10)
DSt Dx
(6.11)
4- RtmnIkenklsSlUsUm.
(6.12)
131 В слабом гравитационном поле, описываемом метрикой (6.1), замкнутая система уравнений (6.10)-(6.12) принимает следующий вид:
Jf = -Ф..(1 + + j?-Jrfr-e.^-
+ 2ф, хехап Sn + 4ф. 0. xSv fa exvn --2^.,.,,5,,^)4-0(-?; (6.13)
= -jr (4" QAee«ST + - 2ф. a SxV' +
+ «"SY^f'SY,) +° ("?")¦ (614)
где va = dxa/dt — 3-скорость; t — X — координатное время;
