Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Решение линейного дифференциального уравнения (П.10) (вернее, системы линейных дифференциальных уравнений) будем искать в виде
/-(X1-(T)=^(X)', ,Л (П. 12)
147 Подставляя (П.12) в (П.10), найдем систему линейных однородных алгебраических уравнений
для коэффициентов /4(х)/(т), которая имеет нетривиальные решения, если ее определитель обращается в нуль:
det (іАтчу-е(яГШ„у m<o)') = 0; (П.14)
отсюда следует
А,34-т2Х = 0, (П.15)
где т = т'х'/П(х),. Характеристическое уравнение (П. 15) имеет следующие корни: X|=0, X2 3=ifc/m. В соответствии с этим матрица L(X),(T) может быть представлена в виде
W(?) = (0)V)'(?) + (,)^(a)4?)COSm(<) + (2)/4(a)'(?)Sinm(P'
где .....(2)/4(a)'(?) — коэффициенты, подлежащие определению.
Подставляя (П. 16) в систему уравнений (П. 10) и учитывая начальное
УСЛ0ВИЄ = n) = 6(x)-w (П|7>
получаем окончательный вид для матрицы
L(a)'(?)==AI(a),l(?) + (6(a)(?)-^a^(?))C0S Ф+ e(a)(p)(v)rt(v)sin ср. (П. 18)
где = а тер заменено на ф. При этом очевидно, что
л(аЦа)= 1, а ф совпадает с углом поворота. Нетрудно убедиться,
ЧТО п{а)'— = т- е- вДИНИЧНЫЙ ВЄКТОр П ДЄЙСТВИТЄЛ ЬНО ----------- — —•• гт------— — матрицы L^ (т)
в определение угловой скорости Q^ (П.8), находим
Q<a), = n(a)9 + /i(a)sin ф —(1 —cos Ф)п(у)п(х)в(х)(т)(а). (П.19)
rjpH выводе соотношений (П.16) и (П.19) мы предполагали, что векторы заданы в 3-мерном эвклидовом пространстве. Очевидно, что все рассуждения и выводы останутся в силе при переходе к 3-мерным пространственным сечениям локального 4-мерного пространства Минковского. В этом случае достаточно осуществить следующую замену: (^(a) d/dt-^o/Ьт (см. (2.87)). При этом
матрица ^(х)'(х) будет представлять собой пространственную часть матрицы L(my(ny описывающей локальные преобразования Лоренца. Попутно заметим, что при решении ряда задач очень удобной оказывается векторная параметризация группы вращений (в качестве параметра выбирается вектор с — п tg ф/2). Вопросы, связанные с применением этой параметризации, а также с ее обобщением на группу Лоренца, подробно разработаны Ф. И. Федоровым [40]. ЛИТЕРАТУРА
1. Dirac P. А. М. — Phys. Rev., 1959, vol. 114, p. 924.
2. Dirac P. A. M. — In: Contemporary Physics Ed. A. Salam, vol. 1, Vienna, 1969.
3. Isham C. J. An introduction to quantum gravity. — In: Quantum gravity. Oxford Symposium 1974. Oxford, 1975, p. 1—77.
4. DeWitt B. S. Ouantum gravity: the new synthesis. — In: General relativity an Einstein centenary survey. Cambridge University press, Cambridge, New York, Melbourne. 1979, p. 680—745.
5. Hawking S. W. The path-integral Approach to quantum gravity. - In: General relativity an Einstein centenary survey. Cambridge University press, Cambridge, New' York,'Melbourne, 1979, p. 746-789.
6. Birrel N. D., Davies P. C. W. Quantum fields in curved spase. — Cambridge University press, New York, 1982.—340 p.
7. Gibbons G. W. Quantum field theory in curved space-time. — In: General relativity an Einstein centenary survey. Cambridge University press, Cambridge, New York, Melbourne, 1979, p. 639—679.
8. DeWitt B. S. — Phys. Rev., vol. *9C, p. 297.
9. Kuchar K. — Phys. Rev., 1980, vol. 22D, p. 1285—1299.
10. Kuriyagava /4., Mori S. — Phys. Rev., 1979, vol. 20D, p. 1290-1293.
11. Schmutzer E. — Ann. d. Phys., 1973, Bd 29, S. 75—95.
12. Schmutzer E. Maxwell-Theory and quantum mechanics in a rotating frame of reference. — In: Symp. Math., 1st. naz. alta. mat. Conv. febr. London — New York, 1972, vol. 12, p. 281—296.
13. Zimmermann J. ?., Mreeereau J. ?. — Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 14, p. 887—888.
14. Overhauser A. W., Colella R. — Phys. Rev. Lett., 1974, vol. 33, p. 1237—1239.
15. Colella /?., Overhauser A. W., Werner S. A. — Phys. Rev. Lett., 1975, vol. 34, p. 1472-1474.
149 16. Greenberger D. M., Overhauser A. W.— Sei. Amer., 1980, vol. 242, p. 56—64.
17. Audretsch J. — Int. J. of Phys., 1974, vol. 9, p. 323.
18. Audretsch /., Schafer G. — Gen. Relat. and Gravitation, 1978, vol. 9, p. 243—255.
19. Audretsch /., Sehafer G. — Gen. Relat. and Gravitation, 1978, vol. 9, p. 489—500.
20. Федоров Ф. И. — Докл. АН СССР, 1968, т. 179, № 4, с. 802—805.
21. Fedorov F. /., Kirillov А. А. — Acta phys. Polon., 1976, vol. В 7, р. 161 — 167.
22. Dirac P. А. М. — Ргос. Roy. Soc. (London), 1928, vol. А 117, p. 610.
23. Dirac P. A. M. — Ргос. Roy. Soc. (London), 1928, vol. A 118, p. 341.
24. Кая der Waerden В. L. — Nachr. kgl. Wiss. Gottingen. Phys.-Math. Kl., 1929, S. 100.
25. Weyl H. — Zs. f. Phys., 1929, Bd 56, S. 330.
26. Фок В. А.—Журн. рус. физ.-хим. о-ва, сер. физика, 1930, т. 62, с. 133.
27. Foek V. — Zs. f. Phys., 1929, Bd 57, S, 261. (Русский перевод: Фок В. А. Геометризация дираковской теории электрона. — В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. M., 1979, с. 415—432.)
28. Foek V. J. de Phys. et Ie Radium, 1929, vol. 10, p. 392.
29. FoekV., Ivanenko D. — Phys. Zs., 1929, Bd 30, S. 648.
30. Sehrodinger E. — Sitzungsber. d. preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 1932, S. 105.
