Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим случай, когда атом падает на центр. В приближении Y^l находим, что падение на центр
возможно, если Iclo = Srfi д/З/2. В этом же приближении оператор W имеет вид*^
U7-J-mc2 (S2-V2). (6.41)
Из последнего соотношения видно, что для достаточно больших значений Vq гравитационное взаимодействие уже при r> rg приводит к заметному изменению спектра атома. Так, при IO5 см гравитационные по-
правки к спектру имеют порядок энергии расщепления тонкой структуры при y~ Ю-9, что соответствует энергии атома IO24эВ. Интересно отметить, что частицы, имеющие энергии, близкие к этому значению, экспериментально зарегистрированы в космических лучах.
Численные оценки соответствуют черным дырам с массой порядка солнечной, когда 2,9 см; р — Ю-8 см.
Когда прицельный параметр мало отличается от критического значения /п (/ = /о (1 — а), а<1), формула (6.41) не справедлива. В этом случае при г = 3/-^,/2 функция \ \V\ имеет локальный максимум.
144 Таким образом, при изучении спектров испускания и поглощения от облака газа, атомы которого движутся по траекториям с достаточно большими значениями Dy удаленный наблюдатель зарегистрирует большое и неодинаковое красное смешение (наложение красных смешений, обусловленных гравитационным полем и эффектом Доплера), а также сдвиг, растепление и уширение (вследствие изменения U" со временем и различия траекторий соседних атомов в облаке), которые для конкретных орбит могут быть учтены с помощью теории возмущений.
Нетрудно получить выражения типа (6.40) для геодезического движения атома в полях Keppa и Нордстре-ма — Райснера. (В случае поля Нордстрема — Райснера в формуле (6.37) надо учесть внешнее электромагнитное поле.) Даже для слабо заряженных черных дыр (в этом случае можно воспользоваться основными результатами для поля Шварцшильда) внешнее электромагнитное поле уже при значительно больших значениях параметра у существенно влияет па спектр атома.
Еще более неожиданные результаты получаются при падении атома во вращающуюся черную дыру, описываемую метрикой Керра. Не имея возможности останавливаться на них подробно, отметим, что даже в случае конических траекторий (винтового движения: O = Const) вблизи эргосферы возникает расщепление уровней, пропорциональное а2/у\ где а — керровский параметр, характеризующий момент импульса черной дыры. Интересно, что отмеченный эффект имеет место только для тех винтовых траекторий, направление вращения которых противоположно направлению вращения черной дыры.
10. Злк. Я 7 IcS ПРИЛОЖЕНИЕ. МАТРИЦА ВРАЩЕНИЯ L(x)(т) И УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ Й(х)
Пусть — ортонормированные базисные векторы, введенные в некоторой инерциальной системе отсчета 2:
Рассмотрим в этой же системе отсчета тройку взаимно ортогональных единичных векторов вращающихся с некоторой угловой скоростью Q (например, в(ау — базисные векторы во вращающейся системе отсчета 2', имеющей с 2 общее начало). Векторы е^у, очевидно, могут быть разложены по базисным векторам е^ау
'M- = Vrw eW- (П.2)
где ^rw—некоторые зависящие от времени коэффициенты. Из ортогональности векторов е^ау.
<?(a)<?(?)=o(a)(?).
(П.1)
е.
WW = A.
(П.З)
W(*)'
следует ортогональность матрицы L(Xy(Ty
Разлагая прои :ным векторам
находим
L(x)'T L(ar(t)==6(x)'(a)'' L(a)'(x)La (т)~ б(х)(т)' (П-4) где В силу соотношения (П.З) коэффициенты разложения должны
быть am исиммегричными;
Ц.пхґ(«г- (П.б)
Из последнего равенства следует, что можно ввести псевдовектор
о (ii —i>""Vu)'):
J_t/xViTn«»'W(t)f(n)ff (П.7)
описывающий вращение векторов с[ау относительно инерциальной системы отсчета Поэтому будем называть псевдовектором
угловой скорости, для которого из уравнений (П.1)—(П.7) находим
()(*)'_ ' J*)'(*)'(«)'/ / (V). /П Й\
У--—е L{Ty{v)Liay" \ (11.8)
= (П.9)
/
r^e ^(x)'(vi = -JJ- ^(x)'(v).
Известно, что если векторы е(а) и е(ау образуют правые (или левые) тройки, то в любой момент времени /о существует такая ось (/і -- единичный вектор в направлении этой оси), что векторы с(а Y (М могу г быть получены в результате поворота векторов е{а) вокруг этой оси на некоторый угол ф (to). Таким образом, матрицу ^(х)'(т) можно выразить через параметры п и ф: L^y^ = = L(*y{ т)(«Г.Л
Для нахождения этой зависимости зафиксируем ось вращения. В этом случае векторы е^ау будут зависеть только от угла поворота (р: = В результате формальной замены в уравнениях
(П. 1)--(Г1.8) / на ф найдем дифференциальное уравнение
(Lixr ^Y = e[xy{vYi>,y LwixfIw', (П.10)
которому должна удовлетворять матрица ^(ху(ту Здесь
«'»-¦i-^^WW0. (П.І1)
а штрих означает производную по углу поворота ф. Из уравнения (П.10) матрица L(xy(T} может быть найдена как функция угла поворота Ф и псевдовектора m^. В общем случае т^ в свою очередь может зависеть от угла поворота. Однако, если псевдовектор т (т — е^угп^) выбрать пропорциональным вектору Al, что соответствует нашей цели, то ф и т будут независимыми переменными. Принимая это в качестве дополнительного условия, непосредственно перейдем к решению уравнения (11.10).
