Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
= х. Ковариантные компоненты 4-вектора спина удовлетворяют аналогичному уравнению
-?- = Jr(4"SrQVatx-2ф, a V1Sx +
Отметим, что в данном приближении дополнительное условие Пирани совпадает с условием Тульчиева — Диксона [130, 131].
Оператор положения Rv определим таким образом, чтобы его ожидаемое значение совпадало с координатами Xo центра масс поля Дирака:
*5=<V|Ay4'> , (6.15)
вычисленного по отношению к сопутствующей системе отсчета:
xl=\™jmx*dfm/\iD)jmdf^ (6.16)
г г
где f — гиперповерхность одновременности. Под сопутствующей системой отсчета будем понимать движущуюся со скоростью Vх систему отсчета, где
Vx = dxl/di. (6.17)
132 Используя равенства (6.15) и (2.50), соотношение (6.17) можно записать так:
Vy= <Ч'|/?УЧГ> . (6.18)
Элемент гиперповерхности (if,,, в линейном приближении но v/c определяется соотношением
<//:„=(-/-')1/2і).
Дальнейшие вычисления выполним в двухкомпонент-ном приближении, так как оно выделяет одночастичные состояния и поэтому облегчает физическую интерпретацию входящих в теорию операторов. В координатном представлении оператор положения определяемый
соотношениями (6.15) и (6.16), имеет вид Rx = Xv -J- 0(1/с2)у R*r=xx-\-0(\ /с2). Используя выражение (6.8) для двух-компонентного оператора Гамильтона в слабом гравитационном поле и учитывая справедливое в общем случае
соотношение <Ч'|stxY> =<ф|^фф>, где
+ (6.19)
получим
/Jvll=-L^0(Jr). (6.20)
Вычисление Xo с точностью до членов второго порядка по v/c и последующее применение соотношения (4.46) приводит к следующему результату:
Rl = X"--4-^^(7, + 0( -L). (6.21)
AtriuC \ с /
При выводе последнего соотношения для двухкомпо-нентного оператора положения в координатном представлении классическая скорость vх (6.17) была исключена с помощью равенств (6.15), (6.18) и (6.20). Отметим, что, продолжая процедуру последовательных приближений, оператор Rф в принципе можно вычислить с заданной наперед точностью.
Операторы скорости и ускорения в двухкомпонентном приближении естественно определить как Йф и /?ф,
133 для которых, учитывая (6.19) и (6.20), получим
Ab-^H'-wH^Ci^-
--і-йа^ф.«)-^ + ?)(?; (6.22)
= -9.(1 + ?-^[-Lfl'.*,) +
+ ф. Ji +
+ -J-G0 (Зецхаф,,, ,p,+^"^*, ф. X. ц ))] +
+-і-[4-ф)- 4-Aa^VXT(P'^ -1+
+ 4-(-TCT'Q, v+{|%,px)] --JrI'+ 0(?. (6.23)
Оператор спина определим, воспользовавшись общеко-вариантным выражением для магнитного момента дираковского поля [36]
г
вычисленного в сопутствующей системе отсчета, и допустив, что в гравитационном поле сохраняется обычная связь между собственным магнитным моментом электрона и его спином. В двухкомпонентном приближении для «оператора» спина справедливы следующие выражения:
+ -г^^'-іг^')+0^)' <6-24>
Si--M(I-S)". -
-W ^H+0 (-?-)¦ <б-25>
Величины SJ и могут называться операторами лишь условно, так как они содержат классическую скорость
134 электрона іЛ, которая, правда, может быть исключена с помощью выражения (6.22) (так было сделано в случае оператора положения). Однако это приводит к громоздким выражениям для оператора спина. «Операторы» (6.24) и (6.25) связаны посредством равенства
5'=<ф|5'фф> (6.26)
с классическим спином S' (собственным моментом импульса), входящим в уравнения Папапетру. При учете соотношений (6.21), (6.24) и (6.25) равенство (6.26) приводит к следующим соотношениям:
S« = 2«(l +-J--?+-^'2, + 0(-1.); (6.27)
?)+0(7-). (6-28)
где использовано сокращение
<ф| -і_а«ф> .
о 00
Вычисляя ожидаемые значения операторов Rx и Rv и учитывая соотношения
<Ф1ФФ> =v(jcg) + ^^Yv^,
^L= <Ф|/?ІФ> ,
at
находим уравнение движения, в точности совпадающее с классическим уравнением (6.13). Дифференцируя выражения (6.27) и (6.28) для ожидаемых значений оператора спина и исключая производные d^/dt с помощью соотношения
-^T = -Y <ф1<^ф> = "2?"(2хФ.^a-
- (P-^vx) + ^ ^vZvQt + О
находим, что Sa (6.27) удовлетворяет уравнению (6.14). Нетрудно также показать, что Sa и S4 связаны между собой условием Пирани (6.10). Таким образом, ожидаемые значения операторов положения (6.21) и спина (6.24), (6.25) для дираковского электрона удовлетворяют (в рам-
135 ках сделанных приближений) классическим уравнениям Папапетру. Этот факт можно рассматривать как обобщение теоремы Эренфеста.
§ 6.2. Водородоподобный атом
во внецінем гравитационном поле
В данном параграфе предпринята попытка ответить на вопрос, существенно ли влияние внешнего гравитационного поля на атомные спектры. Важность этого вопроса для астрофизики обусловлена тем, что большую часть информации о физике небесных тел дают спектральные исследования. Принято считать, что внешнее гравитационное поле не влияет (не считая общего красного смещения) на спектры атомов ввиду их малых размеров. Наблюдение спектров различных звезд подтверждает это предположение, и только спектры квазаров все еще до конца не поняты. Теоретические оценки, проведенные на основе квантовой механики в слабых гравитационных полях, приводят к следующим значениям энергии взаимодействия (в эВ) атомного электрона с внешним гравитационным полем на поверхности различных небесных тел [114]: Земля — 2,2• 10~23; Солнце — 6,0-Ю-22; Сириус Б— 1,1 -IO-17; нейтронная звезда (M = 0,4 M0) — 3,5-10" ,2. Следовательно, гравитационное поле практически не влияет на спектр атома, даже если он находится на поверхности нейтронной звезды (для сравнения: величина лэмбовского сдвига имеет порядок 10~~6эВ). Расчет вероятностей переходов в атоме водорода [132], обусловленных полем гравитационной волны, показал, что эти вероятности относятся к вероятностям квадрупольных электромагнитных переходов (вызванных электромагнитной волной), как 1:1042. При этом было предположено, что плотности излучения в одинаковых частотных интервалах для обоих типов волн равны. Таким образом, хотя гравитационное возбуждение атомов и имеет место, но оно вряд ли может иметь практическое значение.
