Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Горбацевич А.К. -> "Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения" -> 43

Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.

Горбацевич А.К. Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения — Мн.: Университетское, 1985. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehvobsheyteor1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 .. 49 >> Следующая


А-=__L«>)//('V //*)

a1O— 2 L (a) (I) (Xp »

где С>Е(Я)=Wfl0rtl4, <»> //,„,=-L *,„<'><'> «»А(іИї). подставляя эти потенциалы в (6.35), находим оператор Гамильтона, описывающий водородоподобный атом, движущийся во внешнем гравитационном поле. В нерелятивистском приближении оператор Гамильтона имеет вид

-1T + jtc&*>+ ^(X))(U)//(X>-- QW + m ( W{ai+ Jl Е \ ды +

4 m У (6.37)

Водородоподобный атом в поле Шварцшильда.

Рассмотрим водородоподобный атом, движущийся по геодезической в поле невращающейся черной дыры, описываемой метрикой Шварцшильда

ds2 = e~x dr2 + г2 (dxJ2 + sin2їМф2)- ^v (dxA)\

где ev= 1 —гя/г\ гя = кМс2/4п — гравитационный радиус. Отметим, что эта задача имеет в какой-то мере и прикладное значение, так как попутно решается вопрос, существенно ли влияние гравитационного поля на энергетические уровни атомов аккрецируемого на черную дыру вещества (в тех областях диска аккреции, где атомы еще не полностью ионизированы). Он возникает в связи с поисками черных дыр, интерес к которым в последние годы существенно вырос.

В качестве базисной линии (2.83), определяющей систему отсчета, выберем временноподобную геодезическую Du'/Dt = D2?'/Dt2 = 0, которая является траекторией

140 ядра. Из последнего уравнения находим (см., например, [36])

Ui = {± V C1A1 - ех {с2 + D2/r2), 0, D/r2, с А е~v),

где AwD — произвольные константы, соответствующие полной энергии и орбитальному моменту импульса атома; знак « + » соответствует удалению от гравитирующего центра, а знак « — » — падению на центр. Сопутствующую тетраду (ср. § 2.5) выберем в виде

A= 4A2 —evD2/c2r2, Vl-eVX*.

Тетрада (6.38) описывает вращающуюся с угловой скоростью (ср. (2.87))

Q^=IOf 0, QJf Q= J^l--L -і)

систему отсчета. Подставляя тетрадные компоненты тензора кривизны в общие выражения для «потенциалов» В, Є(в) и 6,в)(х1 (6.29)-(6.31), находим

(6.38)

Л(„'={±2Л. О, -^r. Ae-

где



(6.39)



141 _1/3A.(„.+ Jg:)]4 "ISrO4*+"S1Pr) *']•

где использованы следующие обозначения: х = у{]\ у = у{2\ z = y(3). Не приводя результатов вычисления величин

в. ©Га)

и ^(a)(?) (см- (6-32)—(6.34)), отметим, что в областях пространства, где г^>р, эти величины намного меньше, чем в, в(а) и 6(а)(х). (Поэтому в операторе Гамильтона

(6.35) величиной о можно пренебречь.) Для водородо-подобного атома, движущегося в поле Шварцшильда по геодезической (W(Ct) = O), оператор Гамильтона имеет вид ^ = W?, или в двухкомпонентном при-

ближении — = + W, где ??{0) — невозмущенный оператор Гамильтона для свободного водородоподобного атома, а ?if^ — его двухкомпонентное приближение с учетом тонкой структуры. Численный анализ всех членов, входящих в оператор W, показал, что в хорошем приближении он имеет форму

142 W = mo C2H =

cr.\

2 rV

3D

Sr-^'+^)]«'-

f(>+4?)4

ttlC Г,

(6.40)

ivir оператор В получен заменой в (6.39) координат у(а) операторами положения q{a) (q{X) = xy q(2)=yy q№=z). Отметим, что шварцшильдовские координаты г, Ф, ф, х4 не имеют ничего общего с оператором положения q'ri[ Они описывают положение атома в пространстве, а в оператор Гамильтона входят в виде функций собственного времени т: г = г (т), ... , л:4 = х4(т).

Из выражения (6.40) видно, что гравитационное поле заметно влияет на энергетические уровни только в случае, если атом движется по орбите с большими значениями D (среди таких орбит встречаются как финитные, так и инфинитные; подробная классификация геодезических орбит в поле Шварцшильда дана в монографии [139]). Можно показать, что для любых геодезических орбит оператор (6.40) квазистационарен, т.е. можно говорить о квазистационарных энергетических уровнях атома. Однако подробный анализ спектра водородоподобиого атома при его геодезическом движении в поле Шварцшильда является самостоятельной задачей. Остановимся лишь на двух частных случаях, первый из которых является примером финитного, а второй — инфинитного движения.

Круговое движение [59]. Как известно, в поле Шварцшильда существуют круговые геодезические орбиты (г = Ro), если Ro> Зга,/2. Но уже при Ro<3rR эти орбиты становятся неустойчивыми [120, 140]. Оператор W можно получить, подставив в (6.40) соответствующие круговому движению значения констант А и D:

В результате найдем, что если радиус орбиты R0 заметно отличается от критического значения Зг^/2 (при Ro-*-—^Зг^/2 и—^c), то оператор UP пренебрежимо мал. Поэтому

А=ех/A0, Z=Oy \2 = е\

O= Ao = jV=3rg/2R<

Ao

0-

143 рассмотрим случай, когда /?0 = 3rA(l+6)/2, гдеО<6<СІ. Удерживая в операторе W только наиболее существенные члены, найдем

Следовательно, в случае круговых орбит гравитационные поправки становятся сравнимыми с энергией расщепления тонкой структуры, если 1/6^ IO18 Ч

Падающий из бесконечности атом. Перейдем к рассмотрению более важного с практической точки зрения примера. Пусть водородоподобный атом летит из бесконечности на черную дыру с прицельным параметром / и начальной скоростью Выражая интегралы движения AhD через / и и0, получим A= у~\ D = lcy~] (\ — у2)42, где y = (\—uo/c2)l/2. Из полученного выражения для D вытекает, что только в случае, когда у<^\у константа D принимает достаточно большие значения. В то же время прицельный параметр не должен быть очень большим, иначе атом пройдет слишком далеко от черной дыры.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 .. 49 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed