Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку форма Киллинга Ad-инвариантна, то Ь(Хд,1д) = = b(Xb,Yt) = —B(X,Y), откуда видно, что метрика правоинвариантна.
Метрика (5.22) согласована с симметричной левоинвари-антной аффинной связностью V0, о которой говорилось в предыдущем пункте. Действительно, вследствие Ad-инвариантности формы Киллинга имеем
b(V%LXL,YL)+b(XL,V°sYL) =
= -\(B{[Z,XIY) +B(X,[Z,Y]) = 0. (5.24) 196
Глава 2,
Если учесть, что Ztb(XlliYzl) = -Zi1B(XiY) = 0, то увидим, что равенство (5.24) совпадает с условием согласованности метрики с аффинной связностью. Таким образом, связность V0 является псевдоримановой относительно псевдори-мановой структуры (5.22).
Для построения инвариантного интеграла на группе Ли рассмотрим левоинвариантные (или правоинвариантные) дифференциальные формы (J*, дуальные к левоинвариантным векторным полям Xi = DLgXi ((Xi} — базис в алгеб-
п
ре Ли Qe(G)). В локальной системе координат и;' = Y VJ(g)dt*.
j=i
Определим левоинвариантную форму объема (g), положив
Ac (g) =W1Aw2A1--A шп. (5.25)
В локальных координатах формула (5.25) принимает вид
?L (g) = det V(g)dt1 Adt2 Л ...Л dt". (5.26)
Правоинвариантная форма объема dR(g) строится как внешнее произведение линейных правоинвариантных дифференциальных форм и в локальных координатах имеет вид
?R(g) = det U(g)dt1 A dt2 A ... A dtn,
где матрица U(g) соответствует правому сдвигу на группе и определена в § 3.
Форма объема (5.25) определяет левоинвариантный интеграл на группе G. Его характеристическая особенность состоит в том, что объем любого сингулярного куба Ф™: In —»• G (или объединения кубов) сохраняется при левых сдвигах, то есть
ть(Фп(1п)) = j ?L(g)= j ?L(g) = ть(ё1Фп(П).
Величину ть(Фп(Іп)) называют мерой Xaapa множества Ф"(/") С G в честь венгерского математика, доказавшего существование инвариантного интеграла на локально-компактных группах. § 5. Дифференциальная геометрия на группах JIu 197
Полупростые группы Ли являются псевдоримановыми, а поэтому на них существует форма объема, имеющая в локальных координатах вид
dv = vi det ^di1 Adt2 A... Adtn, (5.27)
где Ь = bij(g).
п
Если учесть, что bij(g) = ? VJk{g)VHg)gki, то легко ви-
к,1=1
деть, что с точностью до константы формулы (5.26) и (5.27) совпадают. Но поскольку псевдориманова метрика (5.22) дву-сторонне инвариантна, то такое же свойство имеет и форма объема (5.27).
Группы, на которых мера Xaapa двусторонне инвариантна, называются унимодулярными. Среди таких групп Ли — полупростые группы, группы G, для которых AdG — компактная группа, связные нильпотентные группы. Глава З
Представления групп и алгебр
§ 1. Основные понятия теории представлений
1.1. Определение представлений. Симметрии, с которыми мы встречаемся в физике, химии и других естественных науках, реализуются через преобразования величин, в большинстве случаев обладающих свойством линейности, то есть их можно складывать и умножать на числа. Реализация группы или алгебры линейными преобразованиями называется линейным представлением этой алгебраической структуры (точное определение будет дано ниже). Например, преобразования электромагнитного поля при переходе из одной инерци-альной системы отсчета к другой — одно из возможных конечномерных представлений группы Лоренца; преобразования спиноров — решений уравнения Дирака —- другое представление той же группы. Симметрии квантовой системы, реализуемые линейными преобразованиями векторов состояния (волновых функций), преобразования векторов смещений атомов относительно их равновесных положений элементами группы симметрии многоатомной молекулы — все это примеры линейных представлений.
Приложения теории представлений групп, алгебр и других алгебраических структур самые разнообразные. Всю квантовую механику с математической точки зрения можно рассматривать как теорию представлений перестановочных соотношений между основными квантовыми наблюдаемыми. Теория представлений используется в теории динамических систем, является содержательной частью функционального анализа и спектральной теории линейных операторов и имеет множество приложений в теории специальных функций и ав-томорфных форм.
Представления, с которыми мы будем иметь дело, реализованы, как правило, в конечномерных или бесконеч- § 1. Основные понятия теории представлений
199
номерных банаховых или гильбертовых пространствах. Рассматривают представления и в более общих пространствах, например, в пространствах обобщенных функций, конечно-нормированных пространствах, модулях и т. п. Основные определения, приведенные ниже, легко обобщаются на эти случаи.
Напомним, что комплексное линейное пространство Sj называется банаховым пространством, если каждому элементу f Є Sj сопоставляется неотрицательное число ||f||, такое что
а) ||f|| ^ 0 и |f|| = 0 тогда и только тогда, когда F = O;
б) Hfi+fall < Ilfill+ IIfaII;
в) IIAfII = IAlllfУ для всех Л Є С,
(число ||f|| называется нормой элемента f) и пространство Sj полно относительно сходимости по норме, то есть каждая его фундаментальная последовательность имеет предел.
