Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Каждое из них определяет аффинную связность в окрестности единицы группы G. Обозначим соответствующие связности через V+ и V-. Покажем, что они левоинвариантны. Действительно, вычисляя коэффициенты rjj'1 в точке gig, получаем
P+-W1= V dtm[g) m4g) dti^)r+,k jl OtHglg) dt'(glg) Otk (g) ms h
} ^ dHk(g) dt^gig) h 0tj(gig)0tl(gig) dtk(g)'
что и доказывает левоинвариантность аффинных связнос-тей Vі в локальной системе координат.
Левоинвариантные аффинные связности на группе Ли описываются в следующем
Утверждение 3. Существует взаимно однозначное соответствие между элементами множества левоинвариант-ных аффинных связностей на группе Ли G и элементами множества билинейных отображений а на Qe(G) со значениями § 5. Дифференциальная геометрия на группах JIu
193
в Qe(G). Если а — кососимметричное отображение, то геодезические относительно соответствующей связности являются однопараметрическими подгруппами в G.
Доказательство. Напомним, что связность V левоин-вариантна, если V(DLg)a(DLg)b = (DLg)(vab), где DLg — дифференциал левого сдвига. Из этого определения видно, что поле V^f Bl левоинвариантно, если такими являются поля Al
и Bl- Справедливо и обратное утверждение: если ковариант-ная производная одного левоинвариантно поля относительно другого является левоинвариантным полем, то соответствующая аффинная связность левоинвариантна. Учитывая это, определим на группе G левоинвариантную связность Vа формулой
VaAbBL = (DLg)a(A,B), Al = (DLs)A, Bl = (DLg)B.
(5.19)
Поскольку левоинвариантные векторные поля составляют базис левого модуля Sf(G), то формула (5.19) вместе с соотношением (5.1) задает ковариантную производную (связность) для всех векторных полей из & (G).
Каждому вектору А Є Qe(G) соответствует однопарамет-рическая подгруппа т —> gA(т) и векторы А(т) (являющиеся значениями векторного поля Al в точках ?д(т)), касательные к ней. Если билинейная форма а кососимметрична, то
V^ Al = (DLg)a(A, А) = 0. (5.20)
Это значит, что однопараметрическая подгруппа т —»• ga(f) является геодезической для связности Vq- С другой стороны, пусть т —»• 7а(т) — геодезическая левоинвариантной связности с направляющим вектором А Є Qe(G) и 7^(0) = е. Вследствие левоинвариантности кривые т —> ja(<t + т) и t —^ 7а(о)уа(т) также являются геодезическими, проходящими через точку 7а(&) и имеющими своим касательным вектором в этой точке вектор (DLyfl^)A. Согласно утверждения 1 о единственности геодезической имеем равенство 7а(<т + т) = ^a(o)ja(t). To есть геодезическая г —> та(т) является однопараметрической подгруппой, совпадающей с подгруппой т —> gA(T~). Утверждение доказано. 194
Глава 2,
Пусть а(А,В) = [А,В]. Тогда V^ Bl = [Al,Bl]. Вычис-ляя коммутатор векторных полей в локальной системе координат, убеждаемся, что коэффициенты этой связности совпадают с Г+''te), то есть Vа = V+-
Отображению а = 0 соответствует связность V-, для которой V-JJ^jBl = 0 для любой пары левоинвариантных векторных полей Al и Bl. Легко убедиться, что коэффициенты связности V- совпадают с функциями TJt,l(g).
Тензорные поля кручения и кривизны для связностей V+ и V-, вычисленные на левоинвариантных векторных полях, имеют вид
T±(AL, Bl) = ±[AL,BL], R±(AL,BL) = 0. Кроме связностей
естественно рассмотреть также симметричную левоинвариантную связность V0 = ^(V+ + V"), определяемую кососимметричной формой а(А, В) = ^[А,В]. На левоинвариантных векторных полях имеем
V^Bt = \[AL,BL], T°(AL,BL) = 0, R°(Al,Bl)Cl = -\[[AL,BL],CL).
Вычисляя тензор кривизны в базисе левоинвариантных век-
торных полях Xi, для которых Xj] = Y cijXk, получаем
*=і
71
1^k = -I EcfiC18fc. (5.21)
S=I
Таким образом, левоинвариантная симметричная связность на группе Ли порождает ненулевой, но постоянный тензор кривизны.
5.4. Инвариантная метрика и инвариантный интеграл на группе Ли Билинейная форма Киллинга на алгебре Ли Se(G) продолжается с помощью левых (правых) сдвигов до двусторонне инвариантной метрики на группе Ли. Если группа Ли полупроста (см. гл. 4), то согласно критерию § 5. Дифференциальная геометрия на группах JIu 195
Э. Картана [9] форма Киллинга невырождена и такая метрика будет псевдоримановой. В случае компактных полупростых групп Ли форма Киллинга знакоопределена и поэтому соответствующая ей метрика риманова.
Пусть B(X,Y) — билинейная форма Киллинга в пространстве Qe(G) полупростой группы Ли G. Псевдориманову метрику зададим на левоинвариантных векторных полях, положив _
b(XL,YL) =-B(X,Y), (5.22)
где Xb=DLgX и Yij=DLgY. В системе координат окрестнос-
п „
ти единицы в базисе векторных полей вида X,- = Y Ц (#) —^—
j=i Ot1(X) поле метрического тензора задается функциями
71
bij(g) = E v^g)Vj(g)gk,, (5.23)
к,1=1
п
где gij = Y cImcJfs — метрических тензор в алгебре Ли Qe (G).
StTn= 1
Метрика (5.22) левоинвариантна по определению. Покажем, что она также правоинвариантна. Действительно,
b(XR,YR) = b(DRgX, DRgY) =
= b(DLgDLg-iDRgX,DLgDLg-^DRgY) =
= —В (Adg-1X, Adg-1У).
