Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Классическим примером банахова пространства является пространство C(E) непрерывных ограниченных функций одного переменного. Норма в C(E) задается формулой П/П= sup |/(*)|.
хєк
Комплексное линейное пространство із называется гильбертовым, если каждой паре элементов fi,fi Є ІЗ ставится в соответствие комплексное число (fi,f2), называемое скалярным произведением элементов fi и f2, такое что
а) <fi,f2> = M>,
б) (fi, Of2 + ? f3> = a(fb f2) + ? (fi, ft) a, ? Є С,
в) (f, f) ^ О и (f, f) = О тогда и только тогда, когда f = О, и із полно относительно сходимости по норме ||f|| =
= VM-
Из этого определения видно, что гильбертово пространство является одновременно и банаховым. Типичным примером гильбертова пространства является пространство комплекс-нозначных функций одного переменного, для которых существует интеграл f |/(х)]2 dx < оо. Это пространство обозначают r200
Глава 2,
через L2(K). Скалярное произведение в нем задается формулой
Пусть S) — конечномерное или бесконечномерное комплексное линейное пространство. В бесконечномерном случае предполагаем, что оно банахово. Обозначим через L(Sj) множество ограниченных линейных преобразований (операторов) пространства Sj. Ясно, что L(Sj) — линейное пространство. Более того, оно является ассоциативной алгеброй с единицей, причем единица — это тождественное отображение, которое обозначаем через Е. Операция [А, В] = AB —BA, А, В Є L(Sj), превращает L(Sj) в алгебру Ли. Множество обратимых ограниченных операторов на Sj образует группу, обозначаемую через GL(S)).
Линейным представлением (или просто представлением) группы G в пространстве Sj называют гомоморфизм группы G в группу GL(Sj). Другими словами, представление — это линейное отображение Т: G GL(S)), для которого выполняются условия
Очевидно, что T(g-1) = T-1 (g).
Всюду в этой книге будут рассматриваться представления в линейных пространствах над полем комплексных чисел. Можно рассматривать представления над полем вещественных чисел, однако такие представления теряют ряд свойств, которыми обладают представления в комплексных пространствах.
Если G — топологическая группа, то естественно требовать непрерывности отображения Т. Поскольку для ограниченных операторов в банаховом пространстве определена норма
T(gig2) = T(gl)T(g2) Т(е) = Е.
(1.1)
то непрерывность отображения T означает непрерывность его нормы ||T(g-)|| как функции на группе G.§ 1. Основные понятия теории представлений
201
Как для всякого гомоморфизма, для отображения T определено ядро
kerT = {g Є Gr I T(g) = Е} = Н,
которое является инвариантной подгруппой. Очевидно, что всем элементам из gH = Hg с фиксированным g отвечает один и тот же оператор T(g). Множество смежных классов gH образует фактор-группу G/H. Соответствие gH —> T'(gH) = = T(g) является ее представлением. Справедливо и обратное: если H — инвариантная подгруппа в G и gH —> T'(gH) — представление фактор-группы G/H, то соответствие g
T(g) = T'(gH) является представлением группы G. Эти рассуждения подытожим в следующем утверждении.
Утверждение 1. Пусть H — инвариантная подгруппа группы G. Всякое представление группы G, ядро которого содержит Н, определяет представление фактор-группы G/H. Обратно, всякое представление фактор-группы GjH определяет представление группы G, ядро которого содержит подгруппа Н.
Это утверждение часто используется в эвристических соображениях при перечислении представлений конечных групп.
Если ядро гомоморфизма T состоит из единичного элемента, то представление называется точным.
Размерность пространства fj, в котором действует представление Т, называют размерностью этого представления и обозначают dim Т. Различают конечномерные и бесконечномерные представления.
Пример 1. Каждая линейная группа имеет представление Т, которое задается формулой T(g) = g. Его называют векторным или самопредставлением.
Пример 2. При фиксированном А соответствие х —> еХх является представлением аддитивной группы вещественных чисел R, а соответствие х хх — представлением мультипликативной группы положительных чисел К+. Мультипликативная группа Со отличных от нуля комплексных чисел является прямым произведением группы R+ и тора U(I): z = |z|eiargПри каждом А Є С202
Глава 2,
и Jk Є Z соответствие
z —» |z|Aexp(ifcargz),
— представление группы Со.
Пример 3. Пусть C(R) — пространство непрерывных функций на вещественной оси. В нем определено представление группы R, задаваемое формулой
T(a)f(x) = f(x+a), «ЄК.
Пример 4. Формула T(g) = detg задает одномерное представление групп GL(n, С).
Пример 5. Соответствие
— двумерное представление группы Со.
Пример 6. Множество Но ненулевых кватернионов q = о+Ьі+ +cj+rfk, где a, b,c,d Є R, — некоммутативная группа относительно умножения. Соответствие
а —» I — ™ I , г — a + bi, W = c + di, \—w zj
— представление этой группы. Кватернионным единицам i, j, к при этом представлении соответствуют матрицы
С -9' (-і о)- (І ;)¦
Пример 7. Пусть g{h, а) Є ISO(n), где h Є SO(n) и а Є Rn-Соответствие