Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
В таких случаях представления T1 и T2 называют эквивалентными и пишут T1 ~ T2. Очевидно, что соотношение эквивалентности рефлексивно (если T1 ~ T2, то T2 ~ Ti) и транзитивно (из эквивалентностей T1 ~ T2 и T2 ~ T3 следует Ti ~ T3). Поэтому множество всех представлений разбивается на классы эквивалентных представлений.
Если эквивалентные представления T1 и T2 унитарны и операторы А и А-1 изометричны (то есть сохраняют скалярное произведение векторов), то Ti и T2 называют унитар-но-эквивалентными представлениями.
1.5. Лемма Шура и ее следствия. Важную роль в теории конечномерных представлений играют утверждения о свойствах операторов, сплетающих конечномерные неприводимые представления, известные как лемма Шура и ее следствия.
Утверждение 6 (Лемма Шура). Оператор А, сплетающий неприводимые конечномерные представления T1 и T2 группы G, либо пулевой, либо обратим.
Доказательство. Пусть T1ViT2 — неприводимые представления группы G в конечномерных пространствах fh и Sj2 соответственно и пусть оператор A: Sj1 Sj2 удовлетворяет условию T2(g)А = AT1(E), g Є G. Тогда согласно утверждения 5 ядро оператора А является инвариантным подпространством в Sj1. Но поскольку iji неприводимо, то либо ker А = fji, либо ker Л = {0}. Первый случай означает, что А — нулевой оператор, а второй — что отображение А инъективно, то § 1. Основные понятия теории представлений
213
есть из xi ф x2 следует, что Axi ф Ax2. Если А — ненулевой оператор, то для доказательства его обратимости рассмотрим Im А С f)2. Поскольку образ оператора А — инвариантное подпространство в неприводимом пространстве то Im А = = fj2. Это свойство вместе с инъективностью отображения А означает его обратимость. Утверждение доказано.
Следствие 2. Если два неприводимые конечномерные представления группы G эквивалентны, то оператор эквивалентности определяется однозначно с точностью до постоянного множителя. Оператор, коммутирующий со всеми операторами конечномерного неприводимого представления, кратен единичному оператору.
Доказательство. Пусть, как и раньше, Ti и T2 — неприводимые конечномерные представления и пусть T2 (g) = = AT\(g)A~l для всех g Є G. Пусть В — другой обратимый оператор, сплетающий представления Ti и T2. Очевидно, что все операторы вида В — АЛ также сплетают представления Ti и T2. Пусть А = Ai — одно из решений алгебраического уравнения det(J5 — АЛ) = 0. Тогда оператор В — Ai Л вырожден (не имеет обратного) и согласно лемме Шура он тождественно равен нулю. Таким образом, В = AiA. Первое утверждение доказано. Второе утверждение непосредственно следует из первого, если положить A = E. Следствие доказано.
Лемма Шура и следствие 2 справедливы не только для групп, но и для других алгебраических систем, например, для ассоциативных алгебр и алгебр Ли.
Следствие 3. Неприводимые конечномерные представления коммутативной группы одномерны.
Доказательство. Каждый оператор T(g0) такого представления перестановочен со всеми операторами T(g). Поэтому T(g0) = XgoE. Такое равенство справедливо для всех элементов группы. А поскольку представление неприводимо, то оно одномерно.
Пример 19. Представление из примера 5 приводимо.
Задача 1. Постройте оператор, приводящий представление примера 5 к диагональному виду. 214
Глава 2,
Пример 20. Самопредставление группы SO(2) приводимо; оно приводится к виду
Задача 2. Постройте матрицу, осуществляющую эквивалентность этих представлений группы 50(2).
Следствие 4. Пусть T — конечномерное представление группы G, кратное неприводимому представлению T1, то есть записывающееся в соответствующем базисе в блочном виде
Тогда операторы А, перестановочные со всеми операторами T(g), g Є G, в этом же базисе имеют блочный вид
где E — единичные матрицы размерности dim T1.
Представление T из следствия 4 запишем в виде TiT1, что означает прямую сумму T1 + ... + T1 (T1 повторяется п раз). Подобный смысл имеет запись T = Ti1T1 + U2Ti + ... + TikTk. Число щ (i = 1,2,... ,к) называют кратностью неприводимого представления Ti в Т.
Следствие 5. Пусть конечномерное представление T имеет видТ — H1T1-^n2T2+.. .+nkTk, где Ті, г = 1,2,... ,к, — неприводимые попарно неэквивалентные представления. Пространство Sj представления T можно записать в виде Sj = = І5і + ... + Sjk, где Sji — пространство представления щТі.
(T1 0 ... О 0\ О T1 ... О О
\0 0 ... О T1J
A =
^X11E X12E ... XlnE^ X21E X22E — ^2nE
(1.9)
\Хп1Е Xn2E ... XnnEj § 1. Основные понятия теории представлений 215
Операторы А, перестановочные с операторами представления Т, имеют блочно-диагональный вид:
где Ai — оператор типа (1.9) в пространстве Sji-
Задача 3. Пусть T — матричное конечномерное неприводимое представление группы G. Задано естественное действие операторов T(g) на переменные х = (xi, Х2, ..., х„), п = dimT. Всякая квадратная матрица А размерности п определяет билинейную форму
Покажите, что если эта форма инвариантна относительно представления t1 то:
1) матрица А невырождена;
2) матрица А определена с точностью до скалярного множителя;
