Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 10. Матричное представление вида
группы Со вполне приводимо, если Ь = 0, н неразложимо, если Ьф 0.206
Глава 2,
Пример 11. Самопредставление группы верхних треугольных матриц размерности п, п > 1, приводимо и неразложимо.
1.3. Унитарные и контраградиентные представления. Если пространство представления T группы G гильбертово, а соответствующее скалярное произведение инвариантно относительно операторов представления, то есть
(Tig)xjTig) у> = (х,у>, (1.3)
то это представление называют унитарным. Если через T*ig) обозначить сопряженный к T(g) оператор, то равенство (1.3) означает, что
T*(g) = T-1Os) = T(g~x).
Матрицы унитарных представлений в ортонормированном базисе унитарны. Поэтому их матричные элементы удовлетворяют условиям
J2tik(g)tjkig) = J2tki(g)tkj(g) = Sij к к
(черта над tjk(g) означает комплексное сопряжение).
Унитарные представления — важный и наиболее изученный класс представлений групп. Они естественным образом возникают во многих приложениях: квантовой механике, теории поля, теории динамических систем. Унитарные представления групп обладают рядом дополнительных свойств, которые облегчают их изучение. Некоторые из них приведем ниже.
Утверждение 2. Конечномерное унитарное представление группы вполне приводимо, то есть разлагается в прямую сумму неприводимых представлений.
Доказательство. Пусть Pj1 — инвариантное подпространство унитарного представления T группы G в гильбертовом пространстве Sj. Ортогональное дополнение к нему Sjj- = = Sj G Sji также инвариантно. Действительно, если у Є Sjj-и g є G, то для всех X Є $3і имеем
(x,T(g) у) = (T*(g)x,y) = (T"1(g)x,y).§ 1. Основные понятия теории представлений 207
А поскольку T(g--1)x Є ізі, то (T(g-1)x, у) = 0. Поэтому (х, T(g)y) = 0 для всех X Є Sj1, то есть T(g)у Є ІЗ"1"- Это доказывает инвариантность Pjx. Таким образом, T разлагается в прямую сумму подпредставлений, реализуемых в Pj1 и із-1". Если в Sjі или Sjj- существуют другие инвариантные подпространства, то процесс разложения можно продолжить и получить разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений. Утверждение доказано.
Для бесконечномерных унитарных представлений утверждение 2 в общем не верно. Однако можно построить теорию разложений унитарных бесконечномерных представлений в непрерывную сумму (интеграл) неприводимых компонент. При этом вместо разложения гильбертовых пространств в прямую сумму подпространств используется их разложение в непрерывную сумму (интеграл) гильбертовых пространств, которые не являются подпространствами в обычном смысле этого слова. За деталями этой теории отсылаем читателя к монографии [32]. Некоторые примеры разложений унитарных представлений в непрерывные суммы их неприводимых компонент будут рассмотрены ниже.
Как следует из определения, унитарность представления — это свойство инвариантности скалярного произведения. Если мы имеем представление в банаховом пространстве, то естественно возникает вопрос возможности построения такого инвариантного скалярного произведения. Процедура построения такого скалярного произведения называется уни-таризацией представления. Конечно, не все представления допускают унитаризацию. Однако для компактных топологических групп справедливо
Утверждение 3. Всякое представление компактной группы в гильбертовом пространстве можно унитаризовать.
Доказательство. Пусть (х,у) — скалярное произведение в гильбертовом пространстве Sj, которое не сохраняется при действии операторов представления T(g) компактной группы G. Непосредственно проверяется, что эрмитова форма
(х,у)' = J(T(g)x,T(g)y) dg, G208
Глава 2,
где dg — инвариантная мера на G, является новым (положительно определенным) скалярным произведением на 5?. Это скалярное произведение инвариантно относительно T(g). Действительно, поскольку dg — инвариантная мера на G, то
(Tfe)x,Tfe)y)' = J (T(ggi)x,T(ggl)y)dg =
G
= J(T(g)x,T(g)y) dg = (x,y).
g
Утверждение доказано.
Рассмотрим понятие контраградиентного представления. Пусть Sj — линейное топологическое пространство, например банахово. Обозначим через Sj* пространство линейных непрерывных функционалов на Sj. Значение элемента f Є Sj* на векторе X є Sj будем обозначать через (/,х). Пусть в пространстве Sj определено представление T группы G ограниченными операторами T(g). При фиксированном g? G каждому f Є Sj* сопоставляем функционал /', действующий по формуле
(/',x) = (/,Т(йг)х).
Соответствие / /' линейно. Поэтому оно определяет линейный оператор T'(g) в пространстве Sj* : /' = T'(g)f. Очевидно, что
T'(glg2) = (Tfe)Tfe))' = T'(g2)T'(gl).
Поэтому вместо операторов T'(g) естественно рассмотреть операторы T(g) = T'(g_1), определяемые формулой
(ffe/,x> = </, Tfe-1Jx).
Поскольку T(glg2) = Tfe)Tfe), то соответствие g T(g) является представлением группы G в пространстве Sj*, называемое контрагродиентным к представлению Т.
Если Sj — гильбертово пространство, то Sj* можно отождествить с пространством й (согласно теореме Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве [4]). Тогда представления T и T действуют в одном§ 1. Основные понятия теории представлений 209