Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
3) матрица А симметрична или кососимметрична.
Лемма Шура справедлива и для бесконечномерных унитарных неприводимых представлений групп [33]: ограниченные операторы, перестановочные со всеми операторами неприводимого унитарного представления, кратны единичному оператору.
1.6. Теорема Бернсайда. Важную роль в теории представлений групп и алгебр играет теорема Бернсайда.
Теорема 1. Пусть А — ассоциативная алгебра, a T — ее конечномерное неприводимое представление в пространстве Sj. Тогда алгебра операторов Т(а), а Є А, совпадает со множеством всех линейных операторов в Sj.
Доказательство. Выберем базис ei,... ,е„, п = dimT, в Sj и запишем операторы Т(а) в матричной форме. Для простоты соответствующие матрицы тоже обозначим через Т(а). Нужно доказать, что множество матриц Т(а), а Є А, совпадает с множеством всех квадратных матриц размерности п.
(1.10)
п
хЛут = YZ а*зх*Уз-
і,J=і 216
Глава 2,
Пусть Т(а)еі = Yajiej- Через а^ обозначим г-й стол-j
бец матрицы Т(а), то єсть вектор а і = (а^,... , апі), а через (ai,... ,а*) — fcn-мерный вектор, координаты которого состоят из координат векторов ai,... , afc. Для доказательства теоремы необходимо показать, что когда а пробегает всю алгебру А, векторы (ai,... ,an), п = dim Г, пробегают все п2-мерное векторное пространство.
Из неприводимости представления T и равенства Г(а)е,- =
= Yajiej следует, что векторы ai = (оц,... , а„і) пробе-j
гают все n-мерное векторное пространство. Предположим, что (ai,... ,а*) пробегает все fcn-мерное векторное пространство, и покажем, что тогда (ai,... ,afc+i) пробегает все (к + 1)п-мерное векторное пространство. Из этого будет вытекать утверждение теоремы.
Для некоторых матриц Т(а) все координаты столбцов ai,... , а* равны нулю. Покажем, что среди них существует хотя бы одна матрица Т(а), для которой afc+i ф (0,... ,0). Действительно, предположим, что такой матрицы не существует. Тогда если две матрицы Т(а) и Т(Ь) имеют одинаковые первые к столбцов, то (к + 1)-е столбцы у них совпадают, то есть ajt+i является функцией от ai,... ,а*. Эта функция линейна. Поэтому существуют матрицы Bi,... ,Bk, такие что а*+і = BiA1 + ... + J?fcafc для всех а Є Л. Поскольку T(ba) = Т(Ь)Т(а), то (ba)fc+1 = T(b)ak+1 (где Ь и a — матрицы операторов Т(Ь) и Т(а) соответственно) и потому
к к
3=1 J=I
Отсюда и из того, что (ai,... ,ак) пробегает fcn-мерное линейное пространство, следует, что T(b)Bj = BjT(b), j = 1,... , fc. Поэтому согласно следствия 2 леммы Шура имеем Bj = XjE. То есть
a/H-i = Aiai + А2а2 + ... + Afcafc,
и эта зависимость между столбцами выполняется для всех ає А. § 1. Основные понятия теории представлений
217
Поскольку T(a)ei = Yajiej> то і
T (a) (Xie1 + А2е2 + ... + Afcefc) = ^ ai,fc+iei = efc+i
і
для всех а Є А, то есть на е*+і натягивается одномерное инвариантное подпространство. Это противоречит условию теоремы, и наше утверждение о векторе a/t+i доказано.
Пусть I — множество всех элементов а Є А, для которых ai = а2 = ... = afc = 0. Легко видеть, что AI С I, то есть I — левый идеал в А. Пусть f)o = Т(1)ек+1, где через Т(І)ек+1 обозначено множество векторов Т(6)е*+і, 6 Є I. Тогда
T(A)Sэо = Т(АІ)ек+1 = T(I)ek+1 = 5эо,
то есть 55о — инвариантное подпространство. Согласно доказанному выше 55о Ф {0}. Поэтому йо = Sj, то есть T(I)ek+1 = = Sj. Это означает, что когда а пробегает I, то a/t+i пробегает все n-мерное векторное пространство. Таким образом, если а пробегает А, то (аі,а2,... ,а*+і) пробегает (к 4- 1)п-мерное векторное пространство. Теорема доказана.
Часто теорему Бернсайда формулируют так: если матричная алгебра (то есть алгебра квадратных матриц заданной размерности) неприводима, то она является алгеброй всех матриц этой размерности.
Следствие 1. Если T — неприводимое конечномерное представление группы G в пространстве Sj, то линейная оболочка операторов T(g), g Є G, совпадает с алгеброй всех линейных операторов в Sj.
Следствие 2. Пусть А — алгебра всех операторов в n-мерном линейном пространстве Sj. Тогда любое неприводимое конечномерное представление этой алгебры эквивалентно ее самопредставлению.
1.7. Характеры представлений. Теория представлений имеет дело с классами эквивалентных представлений. Поэтому естественно иметь такую характеристику представлений, которая не зависела бы от выбора представлений в данном классе эквивалентности. Такой характеристикой в случае 218
Глава 2,
конечномерных представлений является характер представления.
Характером конечномерного представления T группы G называют функцию хТ(ё) на G, совпадающую со следом TrT(g):
dimT
Xt(g) = Tr T(g) = E tnn(g), (1.11)
Tl—1
где матричные элементы представления взяты относительно любого базиса. Поскольку Tr (ЛІЗ) = Tr(BA), то Tr (AT(g)A_1) = Tr T(g), то есть характеры эквивалентных представлений совпадают. Перечислим очевидные, но важные свойства характеров.
1) Характеры обладают свойством инвариантности x(gigx Xg^1) = х(я)- Другими словами, характеры постоянны на классах сопряженных элементов группы G.
