Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отличительной особенностью компактных групп, по сравнению с общими топологическими группами, является наличие двусторонне инвариантной меры Хаара, относительно которой группа имеет конечный объем. Это обстоятельство позволяет развить для них теорию представлений, во многом схожую на теорию представлений конечных групп. Как 234
Глава 2,
и в случае конечных групп, каждое представление компактной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно унитарному (см. утверждение 3 в п. 1.3), а каждое конечномерное представление вполне приводимо и все неприводимые представления конечномерны.
3.1. Ортогональность матричных элементов и характеров неприводимых представлений. Пусть G — компактная группа, а dg — инвариантная нормированная мера на G. Множество всех ее неприводимых конечномерных представлений разобьем на классы эквивалентных представлений и выберем в каждом классе по одному представителю. В силу утверждения 3 п. 1.3 такими представителями могут быть взяты унитарные представления. Индекс а пробегает некоторое (в общем случае бесконечное) множество значений. Полученное множество унитарных представлений обозначим через {Та І а Є /}. Это множество называют полной системой попарно неэквивалентных неприводимых конечномерных унитарных представлений группы G. Полнота понимается в том смысле, что каждое неприводимое конечномерное представление группы G эквивалентно одному из представлений этого множества.
В конце следующего пункта будет доказано, что каждое неприводимое представление компактной группы G конечномерно. Поэтому множество {TQІ а Є /} совпадает с множеством G всех неэквивалентных неприводимых унитарных представлений группы G.
Пусть Ta — неприводимое представление из полной системы {TQ}, a Sja — гильбертово пространство, в котором оно действует. Выберем ортонормированный базис еп, п= 1,2,... ,dim Ta, в пространстве Sja и построим матричные элементы
Cn (я) = (e„,T„te)em>. Для функций t"m(g) справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений компактной группы G из системы {Та І а Є /}, взятые относительно ортонормированного § 3. Представлення компактных групп
235
базиса, удовлетворяют соотношениям ортогональности
J Cn(g)tUg)dg = (dim Tor)-1 SmpSnqSa?, (3.1)
G
Доказательство. Пусть Ta и Tp — неприводимые представления из системы (Tq і а Є /}, действующие в пространствах Sja и Sjp соответственно. Зафиксируем в каждом из этих пространств ортонормированный базис. Пусть X — произвольный оператор из Sj0 в Sja- Тогда оператор
A = J Ta(g)XT?(g-1)dg
G
сплетает представления Ta и Тр. Действительно, Alp (gi) = jTQ(g)XTp(g-1gi)dg =
G
= J TQ(gig)XTp(g-1)dg=Ta(gl)A.
G
Поскольку Ta и Tp неприводимы, то из леммы Шура следует, что оператор А или нулевой, если а ф ?, или кратен единичному (А = с(А)Е), если а = ?. Эту альтернативу запишем в виде равенства
J TQ(g)XTp(g-1) dg = C(X)ESap. (3.2)
G
Поскольку в пространствах Sja и Sjp зафиксированы базисы, то оператору X соответствует матрица (Xjt), j = 1, 2,... ,dim/jo, I = 1,2,..., dimij?. Выберем оператор X так, чтобы его матрица (Xji) совпадала с матрицей Epq, имеющей на пересечении р-го столбца и q-й строки единицу, а остальные матричные элементы равны нулю. Переписывая соотно- 236
Глава 2,
шєния (3.2) для этого оператора в матричной форме, имеем
E / tmiEM^g-^dg=
3,nG
= / Warnte"1) = Я)6іт6а0. (3.3)
g
Чтобы вычислить c(p,q), возьмем след правой, а затем левой части равенства (3.2) при а = ? и X = Epq. Получаем выражения
J Tr (Ta (g)EpqTa (g~ 1J) dg = Tr Ep9 = <5pg,
g
Tr (c(p,q)E)=c(p,q) dimT".
Приравнивая их, получаем с(р, g) = (dim Ta1^pg. Подставляя это выражение для с(р, q) в (3.3) и учитывая, что в ортонор-
мированном базисе имеем t@p(g_1) = tpq(g), получаем соотношение (3.1). Теорема доказана.
Пусть Xа — характер неприводимого представления Ta. Тогда согласно определения имеем
dim ta
Xа(g) = Tr Ta(g) = C.te)-
n=l
Из соотношений ортогональности для матричных элементов следует соотношение ортогональности для характеров:
Jxa(g)x4g)dg=Sa?. (3.4)
g
3.2. Регулярное представление. Теорема Петера-Вейля. Пусть, как и раньше, L2(G,dg) = L2(G) — гильбертово пространство квадратично интегрируемых относительно инвариантной меры функций на компактной группе G. В этом пространстве действует правое и левое регулярные представления Tr и Tl группы G, заданные формулами
TR(g)f(go) = f(ggo), TL(g0)f(g) = Hgo1 g)- § 3. Представлення компактных групп 237
Эти представления унитарны, поскольку для них выполня-ются равенства f fi(ggo)f2(ggo)dg = J fi(^g) Ji(^g) dg = = J fi(g)Mg) dg. Разложение этих представлений на неприводимые составляющие основывается на теореме, доказанной Ф. Петером и Г. Вейлем в 1927 г.
Теорема 2. Пусть {Тп \ а Є /} — полная система попарно неэквивалентных неприводимых унитарных конечномерных представлений компактной группы G. Тогда функции
і
(dim Ta)2 tmn (g), а Є I, 1 ^ т,п ^dimTa (3.5)
