Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Ln С L2(G) — линейное подпространство функций вида (3.12). Оно инвариантно относительно Tr, поскольку пространство Sj инвариантно относительно Т. Если для некоторого f0 Є 5э имеем (en,T(g)f0) = 0, то это свойство справедливо и для всех векторов Tfe)f0, gi Є G. Замыкание линейной оболочки векторов T(gi)fo инвариантно относительно T и отлично от Sj, поскольку каждый векторTfe)? ортогонален е„. Но это противоречит неприводимости представления Т. Поэтому fo = 0. Таким образом, (3.12) устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами пространства Sj и функциями подпространства LnCL2(G), а также эквивалентность представления T сужению правого регулярного представления на подпространство Ln. Это доказывает теорему.
Следствие 6. Всякое неприводимое представление компактной группы в гильбертовом пространстве конечномерно.
замечание. Заметим, что требование унитарности в теореме 4 не является необходимым. Утверждение теоремы остается справедливым для любого пространственно неприводимого представления компактной группы в локально-выпуклом векторном пространстве Sj. Для построения отображения (3.12) в этом случае необходимо иметь хотя бы один ненулевой линейный непрерывный функционал F. Тогда вектору f Є Sj сопоставляется функ-
3.3. Разложение по характерам неприводимых представлений. Функцию / на компактной группе G называют центральной, если для произвольного go Є G имеем figoggo1) = f(g)- Центральные функции постоянны на классах сопряженных элементов. Примерами центральных функций являются характеры конечномерных представлений группы.
Функции из L2(G) разлагаются в ряды (3.9) по матричным элементам неприводимых представлений. Выясним, как выглядит этот ряд для центральных функций / на G. Для этого заменим в (3.9) g на goggo1- Получим
ция Mg) = F(T(g)t).
dim Tq
dim Ta
/(*)=? E
тп
E ымшхгы •
а€1 т,п=1
k,r=l 242 Глава 2,
Проинтегрируем правую и левую части по go- Поскольку/ dg = 1, то вследствие соотношения ортогональности (3.1) G
для матричных элементов получаем, что с® п = 0 при тфп и
dim Ta
Hg)=Yc- Y tSkte).
аЄІ к=1
где са = Yl стт- Поскольку последняя сумма является харак-
Tn
тером Xa представления Ta, то
/Gr) = I>aXate). (3.13)
ae/
Из (3.4) и (3.11) вытекает, что
Ca = [ f(g)X^F)dg, f \f(g)\2 dg =Y |Ca|2. G G oe/
Следовательно, характеры Xa, Є I, неприводимых представлений компактной группы образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Lq(G) квадратично интегрируемых центральных функций. Отсюда и из формулы (3.4) вытекает такое утверждение.
Теорема 5. Неэквивалентные неприводимые представления компактной группы G имеют различные характеры, то есть неприводимые представления однозначно с точностью до эквивалентности определяются своими характерами. Конечномерные представления группы G однозначно с точностью до эквивалентности разлагаются в прямую сумму неприводимых представлений. .
Если X — характер конечномерного представления T компактной группы G, то
X(g) =
аЄІ
Число та показывает, сколько раз неприводимое представление Ta входит в разложение представления T на неприводимые. Оно называется кратностью представления Ta в T § 3. Представлення компактных групп 243
и обозначается (Г: Ta). Пишут
T = фтаТа.
аЄІ
Кратность тпа определяется формулой
™а = Jx(g)xa(g) dg- (3.14)
G
Если для тензорного произведения неприводимых представлений Ta и T? компактной группы G разложение на неприводимые компоненты имеет вид
TQ®T? = 0m7T7,
7Є/
ТО
mi = (Ta ®T?-.Ty) = jXc(g) x?{g)xjj)dg.
G
Из этой формулы следует, что
(:Ta о T?: T7) = (Та- О T7: T?) = (T7 О Tp Ta), (3.15)
где Ta — представление, контраградиентное к Ta.
3.4. Сферические функции. Подгруппа H группы G называется массивной, если в пространстве каждого неприводимого представления Ta группы G подпространство инвариантных относительно операторов Ta(h), h Є Н, векторов имеет размерность, не превышающую 1. Если такое подпространство одномерно, то о соответствующем представлении говорят, что оно имеет класс 1 относительно подгруппы Н.
Пусть Ta — неприводимое представление компактной группы G, имеющее класс 1 относительно массивной подгруппы Н, a Sja — пространство этого представления. Ортонорми-рованный базис {е^-} в Sja выберем так, чтобы ei был вектором, инвариантным относительно операторов Ta(h), h Є h. Матричные элементы
«fite) = (ei,T0(^e1)
(3.16) 244
Глава 2,
называют зональными сферическими функциями представления Ta, а функции
С = (en,Ta(g)e 1> (3.17)
— присоединенными сферическими функциями этого представления.
Поскольку, как видно из (3.17), ^(gh) = (g) для каждого h € Н, то присоединенные сферические функции постоянны на левых смежных классах группы G по подгруппе Н. Зональные сферические функции инвариантны относительно как левых, так и правых сдвигов на элементы из Н.
Пространство функций из L2(G), постоянных на смежных классах gH, g Є G, обозначим через L2h(G). Подпространство функций / из L2h(G), для которых f(hg) = f(g) для всех h Є Н, обозначим L2hh(G). Предлагаем читателю доказать, что разложение (3.9) для функций / Є Lh(G) имеет вид
