Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 68

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 154 >> Следующая


п=0 228

Глава 2,

имеет ненулевой радиус сходимости по параметру т, то есть

Подпространство всех аналитических векторов пространства Sj обозначим через Sjw. Легко показать, что оно инвариантно относительно представления алгебры Ли д. Доказательство плотности Sjw в Sj принадлежит Л. Гордингу и, как в предыдущем случае, основано на представлении аналитических векторов в виде (2.1), но теперь (p(g) — аналитические быстро убывающие функции на G. Существование таких функций следует из теории уравнения «теплопроводности» на группе. Под уравнением «теплопроводности» понимают параболическое уравнение

где Xi — базисные левоинвариантные векторные поля на группе. Аналитичность решений уравнения (2.5) следует из общей теории параболических систем.

Представление T связной группы Ли G однозначно восстанавливается по представлению ее алгебры Ли g в пространстве Sju. В самом деле, представление алгебры Ли g продолжается до представления ее универсальной обертывающей t7(g). Зная это представление, можно вычислить все производные функции T(g)f, f Є Sjw, в точке g = е, и следовательно, восстановить ее как аналитическую функцию в виде ряда

сходящегося в некоторой окрестности нуля в пространстве параметров (t'} є En. Поскольку Sjw плотно в Sj, то представление, заданное формулой (2.6), продолжается по непрерывности до представления T группы G во всем пространстве Sj.

OO

E^winf і Mn < °° пРи и<є-

п=0

(2.5) § 2. Представления групп JIu. Общие свойства 229

S Заметим, что во всех предыдущих рассуждениях мы считали представление T группы G существующим. Пусть теперь задано представление T0 алгебры Ли 0 на некотором плотном подпространстве С Sj. Возникает естественный вопрос: существует ли представление T группы Ли G в пространстве Sj, такое что построенное по нему представление алгебры Ли 0 совпадает с T0 на подпространстве Sj0?

В случае унитарных представлений ответ на этот вопрос дает следующая теорема, доказанная Э. Нельсоном в 1959 году (см., например, [5]):

Теорема 2. Для того чтобы представление T0 алгебры JIu 0 односвязной группы JIu G, заданное на плотном линейном подпространстве 5}° гилъбертового пространства Sj, порождало унитарное представление группы G, необходимо и достаточно, чтобы операторы

п

IT0(X1),..., IT0(Xn) и A = YiIT0(Xi)]2,

І= 1

где Xi, Xi,... , Xn — базис в 0, допускали самосопряженные замыкания.

2.3. Представления комплексных групп и алгебр Ли и их вещественных форм. Если 0 — вещественная алгебра Ли, то ее комплексификация 0С состоит из элементов X + iY, X, Y Є 0. Каждая вещественная форма может рассматриваться как подалгебра комплексной алгебры Ли. Исходя из этого осуществляется связь между представлениями комплексной алгебры Ли и ее вещественных форм.

Пусть T — представление вещественной алгебры Ли 0. Положив Т(Х + ІУ) = T(X) + іT(Y), X,Y Є 0, получим представление алгебры 0С. Наоборот, если задано представление комплексной алгебры Ли 0С, такое что Т(Х + іY) = T(X) + 4- іT(Y) (такое представление называется комплексным), то сужая его на вещественные формы 0 этой алгебры Ли, получим представления алгебры 0. Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между комплексными представлениями комплексной алгебры Ли и представлениями ее вещественных форм. При этом имеем также взаимно од- 230

Глава 2,

нозначное соответствие между представлениями разных вещественных форм комплексной алгебры Ли. При этих соответствиях неприводимым представлениям отвечают неприводимые представления, прямым суммам — прямые суммы, эквивалентным представлениям — эквивалентные представления и т.д.

Связь между представлениями алгебр Ли и соответствующих им групп Ли позволяет установить связь между голоморфными1 (то есть комплексно-аналитическими) представлениями комплексных связных групп Ли и вещественно-аналитическими представлениями их вещественных форм. В случае конечномерных представлений такая связь взаимно однозначна, то есть каждое вещественно-аналитическое представление вещественной группы Ли допускает аналитическое продолжение в комплексную область значений параметров до голоморфного представления соответствующей комплексной группы Ли. Это соответствие сохраняет неприводимость представлений, их разложение в прямую сумму, эквивалентность и т. п. Бесконечномерные представления вещественных групп Ли (за исключением нильпотентных групп Ли), как правило, не допускают аналитического продолжения до представлений комплексной группы Ли. При аналитическом продолжении в этом случае получаем особенности операторной функции.

Если комплексную группу или алгебру Ли рассматривать как вещественную с удвоенным числом параметров, то она может иметь вещественно-аналитические представления, не являющиеся голоморфными. В этом случае элементы X и ІХ алгебры Ли линейно независимы и им отвечают операторы T(X) и T(iX), такие что, вообще говоря, T(ЇХ) ф \Т(Х).

2.4. Представления универсальной обертывающей алгебры. Каждому представлению T алгебры Ли g соответствует представление T ее универсальной обертывающей алгебры 11(g). А именно, если элемент А Є 11(g) выражается в виде некоммутативного многочлена Р(Хi,... ,Xn) от базисных
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed