Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Кратности неприводимых компонент вычислим по формуле (4.4):
та = E Л)^ = Х°(е) = dimTa. (4.11)
geG
Полученный результат сформулируем как
Утверждение 4. В разложение регулярного представления группы G на неприводимые компоненты входят все неприводимые представления, причем их кратности равны их размерностям.
Это утверждение следует также из теоремы 3 в § 3. Поскольку
а
где — подпространства неприводимых представлений, а та — их кратности, то
N = ordG = п\ + п\ + ... + п2к, (4.12)
где числа па, а = 1,2,... ,к обозначают размерности неприводимых представлений, а к — число классов сопряженных элементов.
4.4. Примеры неприводимых представлений.
В этом пункте, опираясь на общие утверждения предыдущих пунктов и на эвристические соображения, опишем неприводимые представления конечных подгрупп группы SO(S). Эти группы и их представления, являясь симметриями многоатомных молекул, кристаллических твердых тел и других физических объектов, играют важную роль в квантовой химии, молекулярной спектроскопии, теории твердого тела и других областях. § 3. Представлення компактных групп 253
Пример 1. Циклическая группа Cn- Эта группа коммутативна и состоит из степеней порождающего элемента г: Cn = = (г, г2,... ,г" = е}. Из следствия 2 леммы Шура вытекает, что все неприводимые представления этой группы одномерны. В пространстве Sj = С операторы представления — это операторы умножения на комплексные числа по модулю равные единице. Легко проверить, что при каждом фиксированном т (тп = 0,1,2, ..., п — 1) операторы
2тг і
-ms
Tm(r°) = en , e = 0,l,2,... ,11-1, (4.13)
задают неприводимые представления Cn- Число m нумерует эти представления. Число m = 0 соответствует тривиальному представлению. Поскольку количество классов сопряженных элементов коммутативной группы равно порядку группы, то множество представлений (4.13) исчерпывает все неприводимые представления группы Cn.
Пример 2. Группа диэдра Dn. Эта группа имеет порядок In и порождается двумя элементами г и <т:
Dn = (г, a I г" = tr2 = е, та = err-1).
Пусть S) —- пространство конечномерного представления группы диэдра Dn, а Т(г) и T(er) — операторы, представляющие элементы г и а соответственно. По определению представления,
Er(Or = PV)J2 = -E, Т(т)Т(о) = Т(а)Т-\г). (4.14)
Пусть е — собственный вектор оператора Т(г) с собственным значением є:
T(r)e = ее.
2тг і
'—-m
Из условий (4.14) следует, что є = е " . Поэтому е и є обозначаем соответственно через ет н е(т). Очевидно, что вектор ет собственный и для операторов T(rk). Вектор T(tr)em также является собственным для оператора Т(г) с собственным значением є~1(тп). Действительно,
TM(TVJera) = T(ct)T-1 Mem = є-\тп)(Т(<т)Єт).
Поскольку T(tr2)em = em, то подпространство, натянутое на векторы ет и Т(<х)ега, инвариантно относительно всех операторов представления Т. Если є(т) ф ±1, то собственные числа є(т) 254 Глава 2,
и ?-1(m) = є(—m) различны и соответствующие собственные векторы независимы. Из приведенных рассуждений следует, что в этом случае пространство Sjm = Cem фСе_т, где е_т = Т(гт)ет, инвариантно. Представление в нем обозначим через Tm. Операторы Тт(г) и Тт(а) в пространстве Sjrn представляются матрицами
Тт( г) =
і ^im \ е " О
V о
2тг і
—1 ' TTi
= 1 П ¦ (415)
Легко проверить, что представления Tm и Т„-т эквивалентны: неэквивалентные представления получаются при m = 1,2,... ,к, где к — целая часть числа (п — 1)/2. Случаю m = 0 отвечает гомоморфизм, ядром которого является подгруппа Cn. Поскольку DnfCn — C2 = {е,<т}, то по теореме о гомоморфизмах соответствующие одномерные представления группы Dn — это точные представлення группы C2 = {е, er}.
Рассмотрим отдельно случаи четного и нечетного п.
Пусть п = 2к + 1. В группе D2к+г содержится к + 2 классов сопряженных элементов:
O1 = {е}, O2 — {r,r2fc},... , Ок+1 = {rfc,rfc+1}, Ok+2 = {а, аг,... ,<тг2к},
которым соответствует такое же количество неэквивалентных неприводимых представлений. Все неприводимые представления группы D2k+1 исчерпываются двумя одномерными и к двумерными представлениями. Соотношение (4.12) для группы D2k+1 приобретает вид
2xl+fcx4 = 2-(2fc + l)= ordD2fe+i-
В случае четного п группа D2k содержит к + 3 класса сопряженных элементов:
O1 = {е}, O2 = {г,г2*"1},... , Ok+1 = {г*},
Ок+2 = {<Т,<ТГ2,... ,<тг2к~2}, Ок+3 = {<rr,<rr3,... ,^rr2fc-1).
Двумерные представления описываются точно так же, как и в предыдущем случае. Однако теперь при m = к представление приводимо. Формулы (4.15) задают явный вид операторов неприводимых § 4. Представлення конечных групп
255
неэквивалентных представлений при m = 1,2,... ,к — 1. Кроме них имеются еще четыре одномерных представления:
1) To(r) = Та((т) = 1 (тривиальное представление);
2) T0-(г) = 1, T0-H = -I;
3) Тк+{г) = -1, Tfc+(<r) = 1;
4) Tfc_(г) = -1, Tfc-H = -I.
Указанные представления исчерпывают все неприводимые неэквивалентные представления группы Diu'-, их количество (к — 1) + 4 совпадает с количеством классов сопряженных элементов.
