Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 1. Количество попарно неэквивалентных неприводимых представлений конечной группы не превосходит порядка этой группы.
Следствие 2. Все неприводимые представления конечной группы конечномерны и их размерности не превосходят порядка группы.
4.2. Характеры представлений конечных групп.
Характер представления — это функция на группе, постоянная на классах сопряженных элементов (см. п. 1.7). Множество таких функций обозначаем через Linv(G). Имеем Linv(G) С С L2(G) ~ Cn. Кроме того, dim Linv (G) = к, где к — количество классов сопряженных элементов группы.
dim Ta
Пусть Xa(g) = S tnn(g) — характер неприводимого
П=1
представления Ta. Из формулы (4.1) следует соотношение ортогональности
E Ха(Е)Ш) = (ord G)8a?. (4.3)
g€G
Из результатов п. 3.3 вытекает следующее
Утверждение 1. Множество характеров неприводимых представлений конечной группы G образует базис в пространстве Linv(G).
Непосредственным следствием этого утверждения является
Следствие 3. Количество неприводимых неэквивалентных представлений конечной группы G равно количеству классов сопряженных элементов в G: \G\ = к. § 3. Представлення компактных групп 249
Пусть x(g) — характер конечномерного (вообще говоря, приводимого) представления Т. Тогда
x(g) = YmaXa
а
Используя соотношение ортогональности (4.3), выводим, что
т° = "dlG ^ xtax^ta- (4-4)
g€G
Среди неприводимых представлений Ta, а = 1,2,... ,к, обязательно содержится тривиальное представление. Будем считать, что оно совпадает с Ti. Характер тривиального представления равен единице на всей группе. Тогда из соотношений ортогональности (4.3) следует очевидное равенство
Y Xа Ш =0, (4.5)
geG
справедливое для всех неприводимых характеров, кроме тривиального.
Пусть г — произвольный элемент в G, a Or — класс сопряженных элементов, содержащий г. Выберем функцию fr Є Llnv(G), равную единице на Or и нулю на остальных элементах группы, и разложим ее по характерам неприводимых представлений:
к
fr = Y а"Ха. (4-6)
а=1
где
a^icS Ш-Ш=Pr-^F) (4.7)
g?G
и рг — число элементов в классе Or. Подставляя (4.7) в (4.6), получаем
к
f^)=Pr-^Yxa(gbr?)
O=I 250
Глава 2,
или
к
E X0(S)^M = Pr-1 (ord GOV, (4-8)
а=1
где Sgr равняется 1, если g и г принадлежат одному сопряженному классу, и О в противном случае.
Утверждение 2. Характеры представлений конечных групп, кроме общих свойств, перечисленных в п. 1.7, обладают свойствами
1) Xig'1)= Ш,
2) lxte)l ^ х(е),
3) x(g) = Є! + є2 + ... + єт, где т = \(е) " єг, і = 1, 2,... ,т, — корни степени d из единицы, причем d — порядок элемента g: g? = е.
Доказательство. Первое свойство является непосредственным следствием того, что в классе эквивалентных представлений конечной группы всегда имеется унитарное пред-ставление, а для унитарных представлений tnnuf-1) = tnn (g).
Свойство 3), также является следствием унитарности. Пусть T(g) — унитарный оператор представления. Тогда его можно диагонализировать:
T(g) -»• UTigW1 = diag(ei,e2, • • • т = dimT = Х(е).
По определению, x(g) — Єї + Є2 + • • • + єт. Но поскольку группа конечна, то существует такое натуральное d, что g? = е. Тогда (T(g))d = Е, где E — единичный оператор. Отсюда следует, что ef = 1, і = 1,2,..., т. Свойство 3) доказано. Из свойства 3) легко получить свойство 2):
^ N + Ы + ••. + Ы = п» = Х(е).
Утверждение доказано. § 3. Представлення компактных групп 251
Утверждение 3 (Критерий неприводимости). Представление конечной группы G неприеодимо тогда и только тогда, когда
Elx(S)I2 =ordG.
g?G
Доказательство. Если представление T неприводимо, то требуемое равенство следует из (4.3).
Пусть xT(g)— характер произвольного представления Г
группы G, удовлетворяющего условию Y Ixt(S)I2 = ordG.
g€G
Такое представление конечномерно, поскольку хТ(е) =
: dimT < ordG. Пусть хТ = SmaX° — разложение хаос
рактера хТ в сумму неприводимых характеров. Тогда
E lxTte)l2 = E = YmKoldc)-
g€G а,13 g€G а
Поскольку SIxt(S)I2 — ordG, то Y ma = 1- Последнее воз-g «
можно только тогда, когда T — неприводимое представление. Утверждение доказано.
4.3. Регулярное представление. Рассмотрим правое регулярное представление конечной группы G в пространстве L2(G), состоящем из функций
/={/(e),/(S2),...,/(Siv)}. (4.9)
Операторы представления TR(gj) действуют по формуле
TR(gj)f = {/(Si), f(gigj), f(gNgj)}. (4.10)
Вектор (4.10), представляющий функцию TR(gj)f, отличается от вектора (4.9) перестановкой компонент. При этом, если Sj Ф е, то ни одна компонента функции / не остается на месте. Это означает, что оператор TR(gj), gj ф є, в ортонор-мированном базисе ej, і = 1,2,... ,N, таком что е;(gj) = Sij, имеет нулевые диагональные элементы, то есть след этого оператора равен 0. Поскольку xR(e) = dim і2 (G) = N, то
Xя = (хй(е),Xji(S2),-.. ,ХЙ(Ы} = {N,0,... ,0}. 252
Глава 2,
Согласно критерию неприводимости, регулярное представление приводимо, поскольку
E \xR(g)\2 =N2> ordG. g€G
