Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
1HanoMHHM, что под голоморфным представлением комплексной группы Ли понимают такое представление, в котором операторы голоморфно зависят от комплексных параметров группы. § 2. Представления групп JIu. Общие свойства 231
элементов алгебры Ли g (см. теорему Пуанкаре-Биркгофа-Вита в п. 1.6 главы 1), то положим
T(A) = P(TiX1),..., T(Xn)).
Результирующий оператор не зависит от представления элемента А в виде многочлена.
Элементы алгебры 11(g), перестановочные со всеми элементами из 11(0), образуют центр 3 в 11(g). Для конечномерных алгебр Ли 0 элементы центра являются многочленами от конечного числа независимых элементов Ci,C2,... ,Cn центра 3- Если T — представление алгебр g и 11(0), то операторы T(Ci)tT(C2),--. ,T(Cn) называют операторами Казимира этого представления.
Поскольку T(Ci),... ,T(Cn) перестановочны со всеми операторами T(A), А Є 11(0), то в неприводимых представлениях эти операторы кратны единичным операторам. Для конечномерных неприводимых представлений полупростых групп и алгебр Ли собственные значения Ai,A2,...,An таких операторов однозначно (с точностью до эквивалентности) определяют эти представления. Другими словами, различным (неэквивалентным) неприводимым представлениям этих алгебр Ли соответствуют разные наборы собственных значений.
Теорема 3. Пусть TuQ — неприводимые конечномерные представления группы G. Тогда тензорное произведение T ®Q имеет ненулевой инвариант в пространстве представления (одномерное тривиальное подпредставление) тогда и только тогда, когда представления TuQ контраградиент-ны, то есть когда Q = T. Этот инвариант определяется однозначно (с точностью до константы).
Доказательство. Выбрав ортонормированные базисы в пространствах Sjі и Sj2 представлений TnQ, запишем элементы этих пространств в виде координатных столбцов, а представления TnQ — в матричной форме. Тогда действие T(g) на столбец X записывается в виде T(g)x и это действие понимается как умножение матриц (квадратной и прямоугольной). Путем транспозиции получаем действие в виде х*Т'(#). 232
Глава 2,
Элементы х®у Є fji можно записать как тпх «-матрицы Z = ху', где m = dim?i, n = dimfj2. При этом все линейное пространство Sjі ® Sj2 отождествляется с пространством всех m x n-матриц, а действие операторов (Т ® Q)(g) задается формулой
(Т ® Q)(g)(xу4) = Т(Я)(ху')(Ш,
где справа стоит произведение трех матриц.
Условие инвариантности mxn-матрицы z (элемента пространства Sjі ® O2) относительно представления T ®Q имеет вид T(g)zQ*(g) = z. Его можно записать в виде T(g)z = zQ(g-), где = Qt (g"-1) — представление, контраградиентное
к представлению Q. Согласно лемме Шура оно выполняется тогда и только тогда, когда или z = 0, или представления TkQ эквивалентны иг — квадратная матрица, осуществляющая эквивалентность. Такая матрица определяется однозначно с точностью до константы. Теорема доказана.
Если перейти от матриц х, у4 к элементам пространств fji
и Sjг, не реализованных координатными столбцами, то подуті
чим, что инвариантом является вектор J^ej&ifi, где n=dimT,
t=i
а Єі,ег,... ,е„ и fi,f2,... ,f„ — ортонормированные базисы пространств Sji и Sj2, в которых представления TnT задаются матрицами (t тп (я)) и (t тп ig1))1-
Если X — вектор, инвариантный относительно представления T группы Ли G, то есть T(g)x = х для всех g Є G, то операторами T(X), X Є 0, вектор х превращается в нуль. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 3 является основой для построения центральных элементов универсальной обертывающей алгебры. Пусть 0 — алгебра Ли, a it(g) — ее универсальная обертывающая алгебра. Расширим присоединенное представление ad алгебры 0 до представления во всем пространстве 11(0):
(ad Х)А = [X, A] = XA- АХ, А є it(g).
Это представление приводимо: оно имеет инвариантное подпространство 0. Можно показать, что некоммутативные § 3. Представлення компактных групп 233
-многочлены P(Xi,X2,... ,Xn) от базисных элементов -Xi, Xz5¦•• ¦>Xn алгебры 0, степень которых не превышает фиксированного числа, также образуют инвариантное подпространство. Для полупростых алгебр Ли доказано, что представление алгебры g в 11(0) разлагается в прямую сумму конечномерных неприводимых представлений. Эти представления являются также представлениями группы Ли G с алгеброй Ли 0. Поэтому для построения инвариантов алгебры g (и группы G) в 11(0) необходимо применить утверждения теоремы 3. Например, если присоединенное представление алгебры 0 самоконтраградиентно (то есть контраградиентно по отношению к самому себе), то при соответствующем выборе базиса Xi,... ,Xn получаем квадратичный центральный элемент
C2 = Xf+ ... + X2n
в 11(0). Если представление T группы Ли G реализовано в пространстве функций, то операторы T(Xi), • • - ,T(Xn), как правило, дифференциальны. В этом случае оператор
T(C2)=T(X1)2+...+T(Xn)2
называют оператором Лапласа. Существуют и другие определения операторов Лапласа.
§3. Представления компактных групп
Среди групп непрерывных симметрий компактные группы выделяют особо. Как правило, в приложениях имеют дело с компактными группами Ли: это, в первую очередь, группа вращений 50(3) и ее универсальная накрывающая SU(2), группы унитарных симметрий SU(n), п = 3,4,5,..., и сим-плектические группы Sp (п).
