Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
2) Значение характера на единичном элементе равно размерности представления: ХТ{е) = dimT.
3) Если представление T приводимо и T = T1 +... + Tn, то
Xt(E) = Y. ХТ'(Я)-
4) Если представление T унитарно, то xT(g *) = Хт(ё)-
5) Если представление T контраградиентно конечномерному представлению Т, то XT(g) = XT(g)-
При помощи характеров перечисляются неприводимые конечномерные представления. Особенно важна их роль в теории представлений конечных групп. Соответствие между неприводимыми представлениями и характерами устанавливается следующей теоремой, доказательство которой дано в § 3.
Теорема 2. Неприводимое конечномерное представление компактной (а следовательно, и конечной) группы G определяется своим характером однозначно с точностью до эквивалентности. § 1. Основные понятия теории представлений
219
Определение характера формулой (1-11) теряет смысл в случае бесконечномерных представлений групп, поскольку для операторов T(g) практически всегда сумма диагональных матричных элементов расходится. Однако во многих случаях характер можно определить как обобщенную функцию на груп-
Пусть G — группа Ли, a C^0(G) — пространство бесконечно дифференцируемых функций на ней с компактным носителем. Назовем характером представления T линейный функционал X на пространстве C^0(G), такой что
(XiV) — Tr Т(<р), (1.12)
гцеТ(<р)= J <p(g)T(g)dtg.
G
В случае конечномерных представлений формула (1.12) приобретает вид (\,<р) = f ХТ(g)<p(g) fag, где xT(g) — обычный характер, определяемый формулой (1.11).
Для полупростых групп Ли Хариш-Чандра доказал такое утверждение (см., например, [77]):
Теорема 3. Если T — неприводимое унитарное представление полупростой группы JIu G, то его характер определен как линейный функционал на алгебре C^c(G) и имеет вид
(х, <р) = J XT(gMg)dLg,
G
где хТ (g) — измеримая локально суммируемая функция на G.
1.8. Тензорные произведения представлений.
Тензорное произведение представлений Ti и T2 действует в тензорном произведении соответствующих линейных пространств. Напомним определение тензорного произведения пространств. Пусть Sji и Sj2 — линейные конечномерные пространства. Если X Є 5i и у Є Sj2, то образуем из них упорядоченную пару, которую обозначим через х®у. К множеству всевозможных пар х ® у, х є Sji, у Є Sj2, присоединим их формальные конечные линейные комбинации. В построенном таким образом линейном пространстве потребуем выполнения 220 Глава 2,
двух условий (тождеств):
ах ® ?y = а/3(х ® у), а,/? Є С, (1.13)
(xi + х2) ® (уі + у2) = Xi ® уі + х2 ® уі + xi ® у2 + х2 ® уг-
(1.14)
Формальные линейные комбинации упорядоченных пар х ® у с последующими отождествлениями согласно условий (1.13) и (1.14) образуют линейное пространство, называемое тензорным произведением пространств Sjі и Sj2- Его обозначают через Sji ® Sj2.
Пусть {єі} — базис пространства Sji, a {f, } — базис пространства Sj2. Если X = Y x*Gi и у = Yv^j' то
«" з
X ® у = E xV е» ® fj-
Множество векторов {єі ® fj} образует базис пространства 55i ® 02 • Очевидно, что
dim (Sji ® Sj2) = (dim oi)(dim 0г)-
Конструкция тензорного произведения обобщается на случай бесконечномерных пространств. При этом, однако, возникают естественные ограничения на допустимые линейные комбинации пар X ® у. В частности, если Sji и Sj2 — гильбертовы пространства со скалярными произведениями (х, х')і И (у, у')2 соответственно, TO В множестве пар X ® у, X Є Ol, У Є Sj2, определено скалярное произведение, вычисляемое по правилу
<х®у,х'®у') = (x,x')i<y,y')2. (1.15)
Пусть W — линейное пространство конечных линейных комбинаций пар X® у, X Є oi, у Є Sj2, для которого выполняются условия (1.13) и (1.14). Пространство W не будет полным относительно нормы
її E aiJei ® fJ' E aiJei ® fiii = ia'>i2-
«'.І І,3 iJ § 1. Основные понятия теории представлений
221
Стандартная процедура пополнения превращает W в полное гильбертово пространство, обозначаемое через fji <8> Sj2 и называемое тензорным произведением гильбертовых пространств Sjі и Sj2. Его элементами являются линейные (конечные и бесконечные) комбинации
CijGi ® fj, ДЛЯ которых Yt \Cij\2 < OO.
».І І,З
Пусть Ti и T2 — представления группы G в конечномерных или гильбертовых пространствах Sji и Sj2 соответственно. Тензорным произведением T1 ® T2 представлений Ti и T2 называют представление группы G в пространстве 5?і ® Sj2, действующее на пары х ® у по формуле
(Ti ® T2) (g)(х ® у) = Ti(g)x ® T2(g)у. (1.16)
(На линейные комбинации элементов х®у формула (1.16) распространяется по линейности).
Тензорное произведение представлений группы G является частным случаем тензорного произведения представлений двух различных групп. Пусть Ti и T2 — представления групп Gi и G2 соответственно. Тогда формула
(T1 ® T2) (gl,g2)(x ® у) = г\Ых ® T2(g2)y задает представление прямого произведения Gi ®С?2.
Теорема 4. Всякое неприводимое представление T группы G = Gi ® G2 эквивалентно тензорному произведению неприводимых представлений Ti и T2 групп Gi и G2 соответственно.
