Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
и том же пространстве. Пусть {ej} — базис пространства Sj, a tij (g) — матричные элементы оператора T(g) в этом базисе. Если {fj} — дуальный базис, то есть такой, что (?,ел) = Sij, то матричные элементы ty(g) оператора T(g) в базисе (?} связаны с матричными элементами Uj(g) в базисе {ел} соотношением
tij(g) = Ые-1). (1.4)
Если T — унитарное представление, то T(g~x) = T*(g), что для соответствующих матричных элементов, вычисленных в ортонормированном базисе, означает, что
tijig-1)= Mg)- (1.5)
Комбинируя формулы (1.4) и (1.5) получаем
Утверждение 4. Если в гильбертовом пространстве Sj унитарного представления T зафиксирован ортонормирован-ный базис, то матрицы представления Т, контраградиентно-го к Т, получаются из матриц представления T комплексным сопряжением.
Пример 12. Пусть L2 (G, dbg) — пространство квадратично интегрируемых функций на локально компактной группе G. Представление группы G операторами левого сдвига
T1'(gi) f(g) = Ln f(g) = f(g^g) (1.6)
в гильбертовом пространстве L2(G,dbg) унитарно. Унитарным будет также представление в пространстве L2(G,dRg) операторами правого сдвига
TR(g1)f(g) = Rglf(g) = f(gg1). (1-7)
Пример 13. Представление группы Лоренца на компонентах спиноров Дирака является прямой суммой двух конечномерных взаимно контраградиентных представлений.
1.4. Сплетающие и инвариантные операторы. Эквивалентность представлений Пусть T1 и T2 — представления группы G в банаховых пространствах Sj1 и Sj2 соответственно. Линейный непрерывный оператор А из Sj1 в Sj2210
Глава 2,
называется сплетающим представления T1 и T2, если для каждого g Є G выполняется равенство
AT1(S) = T2 (g) А. (1.8)
Количество линейно независимых сплетающих операторов называется индексом сплетения.
Если Sj1 = Sj2 и T1 = T2, то оператор А, для которого выполняется равенство (1.8), сплетает представление T с собой. Такой оператор называют инвариантным относительно Т.
Пример 14. Если T = T1 + T2, где Ti действует в Sji, і = 1,2, то оператор проектирования пространства Sj = Sj1 (BSj2 на Sji сплетает T и Ti.
Пример 15. Пусть х — циклический вектор представления T в гильбертовом пространстве Sj. Это означает, что на векторы T(g)x., g Є G, натягивается линейное пространство, замыкание которого совпадает с Sj. Каждому вектору у Є Sj поставим в соответствие функцию fy(g) = (х, T(g)y) на G. Отображение Ax: у —> /у сплетает T с представлением R группы G правыми сдвигами в пространстве непрерывных функций на G: R(go)F(g) = = F(ggo)- Действительно,
[АхТ(®,)у](в) = [Ax(Tfeo)y)] (я) = <х,Т(я)ТЫу) = = (х> T(ggo)y) = fy(gg0) = R(g0)fy(g) = [A(gb)Axy](g).
Пример 16. Оператор Av (где <р — функция на топологической группе G с инвариантной мерой), действующий в пространстве непрерывных функций на G как свертка:
(Avip)(g) = J <P(g^1)^(go)dgo,
G
инвариантен относительно правых сдвигов на G. Действительно, если правые сдвиги обозначить через R: R(go)ip(g) = ip(ggo), то вследствие инвариантности меры получаем
([AvR{goW)(g) = J V(gh~^(hgo)dh = J viggoh^mVdh =
G G
= [AvW](ggo) = R(go)[AvW)]{g) = [(R(go)A^](g). Таким образом, AvR(g0) — R(go)Av.§ 1. Основные понятия теории представлений
211
Пример 17. Пусть X — пространство, на котором действует группа G, a dx — инвариантная мера на X. Пусть ядро К(х,у), х,у Є X инвариантно относительно действия G на X: K(gx,gy) = = К(х, у). Тогда интегральный оператор
(AfKx) = J K(x,y)f(y)dy X
инвариантен относительно действия G на X. Например, на сфере Sn-1 инвариантными относительно группы SO(n) являются операторы вида
(AfKx) — J K((x,y))f(y)dy,
s"-1
где (х,у) = Xiyl + ... + хпуп, а на гиперболоиде НРЛ = {х Є Є Kp+« I <x,x)p,, = X21 + ... + X2p - xfl+1 -...- X2+g = 1} инвариантными относительно группы SOo (p,q) являются операторы
(А/)(х) = J К((х., y)p,q)f(y) dy.
НР.Я
Утверждение 5. Ядро ker А = {v Є | Av = 0} сплетающего оператора А для представлений Ti и T2 является инвариантным подпространством для представления Т\, а его образ ImA = {w Є f)2 | w = Av} — инвариантным подпространством для представления T2.
Доказательство. Действительно, если Av = 0, то ATi(g)v = T2(g)Av = 0, то есть T\(g)v Є ker А. С другой стороны, если W = Av Є ImA, то T2(g)w = T2(g)Av = ATx (g)v, то есть T2(g)vr є ImA. Утверждение доказано.
Из доказанного утверждения вытекает
Следствие 1. Собственные подпространства Sjx С Sj оператора А, коммутирующего со всеми операторами представления Т, инвариантны относительно этого представления.
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что Sjа является ядром оператора А — XE, который коммутирует со всеми операторами T(g), поскольку А с ними коммутирует.212
Глава 2,
Пример 18. Бели К(х, у) — ядро, инвариантное относительно действия группы G, то множество ?)л решений уравнения
J K(x,y)f(y)dy = Xf(X)
X
инвариантно относительно действия группы G на X, если мера dx инвариантна.
Если оператор А, сплетающий представления T1 и T2, обратим, то
T2(g) = AT1(E)A-1.