Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
g{h, a) h
задает n-мерное представление группы JSO(n), тривиальное на инвариантной подгруппе, состоящей из параллельных переносов.
Пример 8. Из примеров 2 и 4 вытекает, что при Л Є С и к Є Z формула
T(g) = Idetgf exp(ifcarg(detg)) задает представление группы GL(n, С). § 1. Основные понятия теории представлений 203
Пример 9. Пусть T — конечномерное представление группы SO(n). Если g(h, а) — элемент группы ISO(n) (см. пример 7), то
?fe(h,a))=T(h)
— представление группы ISO(n). Таким образом, представления группы SO(n) поднимаются до представлений группы ISO(n).
Пусть 0 — алгебра Ли или ассоциативная алгебра. Представлением алгебры 0 называют гомоморфизм Т: д —> L(Sj), где L(Sj) рассматривается соответственно как алгебра Ли или как ассоциативная алгебра. Другими словами, соответствие а Т(а) является представлением алгебры 0, если оно линейно, то есть
Т(аа + ?b) = аТ(а) + ?T(b), a,? Є С, а, Ь Є 0, и сохраняет операцию коммутирования
Т([а,6]) = [Т(а),Т(Ъ)] = T(a)T(b) — Т(Ь)Т(а) в случае алгебры Ли и операцию ассоциативного умножения Т(аЬ) = Т(а)Т(Ь)
в случае ассоциативной алгебры.
Часто приходится рассматривать представления алгебр Ли и ассоциативных алгебр неограниченными операторами. Определения этих представлений совпадает с приведенным выше, если заменить пространство L(Sj) ограниченных операторов пространством ?(•?)) операторов, определенных на всюду плотном в Sj подпространстве. Ясно, что представления неограниченными операторами возникают в бесконечномерном случае.
Очевидным образом (путем замены инвариантной подгруппы двусторонним идеалом) для алгебры Ли и ассоциативной алгебры можно переформулировать утверждение 1.
Пусть в пространстве Sj зафиксирован базис ех,ег,... Для каждого оператора T(g) представления T группы G имеем
T(g)ej =Y,tij(g)ei-
І 204
Глава 2,
Функции t{j (g) аргумента g называют матричными элементами представления Т. Если пространство Sj гильбертово и в нем зафиксирован ортонормированный базис {е,}, то матричные элементы представления T определяются формулой
В случае конечномерного представления фиксация базиса Єі, і = 1,2,... ,n, влечет отождествление группы GL(Sj) с группой комплексных матриц размерности п:
Тогда представление T является гомоморфизмом группы G в группу GL(n,С). Такое представление иногда называется матричным.
1.2. Неприводимые и неразложимые представления. Конечномерное представление называют приводимым, если в пространстве представления Sj существует хотя бы одно нетривиальное инвариантное подпространство jji, то есть такое, что Т(а)х Є Sj1 при всех х Є fji и всех а из группы или алгебры. Если такие подпространства отсутствуют, то представление неприводимо. Ясно, что одномерные представления неприводимы.
Если все операторы Т(а) приводимого представления рассматривать только на инвариантном подпространстве Sj1, то получим новое представление T1 в пространстве Sj1, которое называют подпредставлением представления Т. Из инвариантности Sj1 вытекает, что операторы Т(а) переводят смежные классы x+fji в смежные классы T(a)x+fjx- Этим определяется представление T2 в фактор-пространстве SjfSj1. Его называют фактор-представлением представления T по T1. Если в Sj выбрать базис ei,e2,... так, чтобы первыми были базисные векторы подпространства Sj1, то представление T в этом базисе будет задаваться матрицами блочного вида
Если в Sj существует дополнительное подпространство Sj2 к фі, которое инвариантно относительно операторов T(а),
tij(g) = (ei,T(g)ej).
GL(Sj) ~ GL(n, С).
(1.2) § 1. Основные понятия теории представлений
205
то получаем реализацию представления T2 в виде подпред-ставления. В этом случае говорят,»что T является прямой суммой подпредставлений Т\ и T2: T = T1 + T2. Ясно, что если T = Ti + T2, то базис в Sj можно выбрать так, чтобы матрицы представлений имели вид (1.2) с А(а) = 0. Если перевыбором базиса невозможно превратить А(а) в нулевой блок, то T ф Ti + T2. В этом случае говорят, что T — неразложимое представление.
Пусть T разлагается в прямую сумму представлений Ti и T2: T = Ti + T2. Если Ti и (или) T2 — приводимые представления, то процесс разложения можно продолжить. Если в конце концов представление T разлагается в прямую сумму неприводимых представлений T = Ti + ... + Tfc, то оно называется вполне приводимым. Если при разложении на каком-то шаге получим неразложимое представление, то все представление T также называют неразложимым.
В случае бесконечномерных представлений под неприводимостью понимают отсутствие инвариантных подпространств, замыкание которых не совпадает со всем пространством Очевидным образом на этот случай распространяются понятия приводимости, подпредставления, фактор-представления и другие.
Определенная выше неприводимость в случае бесконечномерных представлений называется пространственной неприводимостью. Представление T называют операторно неприводимым, если для любого оператора А, перестановочного со всеми операторами Т(а), имеем А = XE, где А Є С и E — единичный оператор. (В случае представлений алгебр бесконечномерными операторами на А накладывается дополнительное условие AD С D, где D — линейное подпространство, на котором определены операторы представления.) Существуют и другие определения неприводимости бесконечномерных представлений. Все они совпадают для унитарных представлений.
