Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Аффинную связность называют симметричной, если отвечающий ей тензор кручения равен нулю. Симметричная связность в базисе {X;} = {——} задается коэф-
1 dt'{х) >
фициентами связности, симметричными по нижним индексам: Г^- = Tji. Это непосредственно следует из формулы (5.10).
5.2. Псевдоримановы и римановы многообразия.
Псевдоримановой структурой (метрикой) на многообразии M называют билинейное отображение b: P(M) х P(M)-+C00(M), удовлетворяющее условиям
а) b(hA,f2B)=hf2b(A,B),
б) b(A,B) = b(B,A).
Если отображение b положительно определено, то есть Ъ(А, А) > 0 и b(A, А) = 0 тогда и только тогда, когда А = 0, то такую структуру (метрику) называют риманоеой. Очевидно, что в каждой точке Xo € M отображение b индуцирует невырожденную симметричную билинейную форму (скалярное произведение) на касательном пространстве Txo(M):
Ь(АХ0,ВХ0) = b(A,B)(x0), Axo,Bxo Є Txo(M). (5.11)
В каждой локальной карте псевдориманова структура задается симметричным тензорным полем типа (0,2). Если {а*(х)} и (Ь*(х)} — координатные функции векторных полей А и В в некоторой локальной карте, то
b(A,В) = J^bij(X)Ui(X)V(X).
Функции bij(x) являются координатными функциями метрического тензора.
Псеедоримановым многообразием называют связное гладкое многообразие с псевдоримановой структурой на нем. Если структура риманова, то многообразие называют римановым.190
Глава 2,
Риманова структура на многообразии индуцирует риманову структуру на подмногообразиях. Аналогичное утверждение для псевдоримановой структуры неверно, поскольку сигнатура квадратичной формы (5.11) различна на различных подпространствах в Txo(M).
Аффинная связность и псевдориманова структура определяются независимо. Но во многих случаях желательно, чтобы они были согласованы между собой. Условие согласованности означает, что параллельный перенос, определяемый аффинной связностью, должен сохранять скалярное произведение в касательных пространствах, то есть
Ь(АХо,ВХо) = Ь(РТ о Axo,Pt о Bxo). (5.12)
Если кривая т —» х(т), вдоль которой осуществляется параллельный перенос, является интегральной кривой векторного поля С, то условие согласованности (5.12) можно записать в дифференциальной форме:
Ve о Ь(А, В) = СЬ(А, В) - b(VoA, В) - Ь(А, V0B) = 0. (5.13)
Утверждение 2. На псевдоримановом многообразии существует только одна аффинная связность, являющаяся симметричной, и параллельный перенос сохраняет скалярное произведение в касательных пространствах.
Доказательство. Из условия согласованности в форме (5.13) получаем
Ab(B,C) = b(VAB,C) + b(B,VAC).
Осуществим в этой формуле ^циклическую^ перестановку букв А, В, С и образуем сумму АЬ(В, С)+ВЬ(С, А)~СЬ(А, В). Используя соотношение V^B = V^A + [А, В], являющееся следствием условия симметричности Т(А,В) — 0 и формулы (5.8), выключим из образованной суммы слагаемые, содержащие ковариантные производные V^ и Ve- Получим соотношение
2b(VAB, С) = АЬ(В, С) + ВЬ(С, А) - СЬ(А, В) +
+ b(A, [В, С]) + Ь(В, [С, А)) - Ь(С, [А, В]). (5.14)§ 5. Дифференциальная геометрия на группах JIu
191
Поскольку форма Ь невырождена, то из этого соотношения вытекает, что может существовать только одна кавариантная производная Vyj, а следовательно, одна аффинная связность, удовлетворяющая условию (5.13) и равенству T(A1B) = 0. Утверждение доказано.
Возьмем в качестве векторных полей А, В, С в формуле (5.14) базисные поля Xi = Xj, Xk и найдем явное
выражение для коэффициентов аффинной связности, удовлетворяющей условиям утверждения 2:
!{,(*> = І t VW (^ + - . (5-15)
кґі \dt%(x) 0P(x) Otk(X)) K '
где ? Vbktn = S1m. fc=i
Аффинная связность, определяемая формулой (5.14), коэффициенты которой в локальных координатах выражаются через метрический тензор формулой (5.15), называется псев-доримановой (римановой) связностью.
5.3. Аффинная связность на группах Ли. Аффинную связность на групповом многообразии определим таким образом, чтобы геодезические, проходящие через единицу группы и имеющие своими направляющими векторами элементы касательного пространства Te(G), совпадали с соответствующими однопараметрическими подгруппами. Осуществим построение таких аффинных связностей сначала локально в фиксированной системе координат.
Пусть g —> {?'(#)} — локальные координаты в окрестности единицы группы G и {а*} — координаты некоторого касательного вектора А Є Te(G). Однопараметрическая подгруппа т —> gA(т) получается как решение динамической системы
d^l = (5.16)
3=1
где (Lj(g)) — матрица дифференциала левого сдвига на элемент g. Чтобы кривая т —» ?д(т) была геодезической некото-192
Глава 2,
рой связности, необходимо, чтобы функции tk(gA(r)) удовлетворяли уравнению (5.7). Согласовывая уравнения (5.7) и (5.16), получаем соотношение
» dL*(g(T)) dt'(g(r))a1 =
dt'(g(T)) dT
- fr 44T^dtj(s(-r))dtl(g(T))
і J=I
которое следует рассматривать как уравнение на коэффициенты связности Г*|.
Из уравнения (5.17) можно получить два выражения для коэффициентов Tfc1:
=- E ^livfigh r*i(g)=гГ/і(ж)- (5Л8)