Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если на многообразии определена аффинная связность, то можно говорить о параллельном переносе касательного вектора вдоль кривой. _
Пусть т —> х(т) — гладкая кривая на М, а А — касательное к нему векторное поле (то есть такое, значение которого в каждой точке кривой является касательным вектором Ax^
к ней: AX(T)F = (AF)(x(t)) = df^r))). Пусть В - другое векторное поле. Множество векторов В(т) = Вх(т), Bx(T)F = = (BF)(x(t)), называют параллельным вдоль кривой т —> —» х(т), если
(VjfB)iw = 0. (5.5)
Пользуясь формулой (5.2) и учитывая, что а*(х(т)) = OtHx(T))
= — , условие параллельности (5.5) в локальных коор-дт 186
Глава 2,
динатах перепишем в виде
= ,5.6,
«,3=1
Решение системы уравнений (5.6) определяет отображение вектора Bxo ~ {Ь*(ж(0))} в вектор Вх(т) ~ (^OcOrM- Единственность решения и гладкая зависимость от начальных условий означают, что это отображение можно трактовать как изоморфизм касательных пространств Txo(M) и Tx^(M). Этот изоморфизм называют параллельным переносом касательного пространства вдоль кривой т х(т) и обозначают через Рт:
PtTxo(M) = Tew(Af).
Если на многообразии существует аффинная связность, а следовательно, и условия параллельности касательных векторов, то можно определить геодезические. Кривую т —> 7(т) на многообразии M называют геодезической, если семейство касательных к ней векторов параллельно вдоль этой кривой. Из условия параллельности (5.6) сразу следует уравнение для геодезических в локальных координатах. Действительно, положив 7к(т) = tk(-y(r)), Ьк(х(т)) = получаем
Щ1 + ± Vf1HMdJp=O. (5.7,
dr2 ^ dr ат t,j=i
Утверждение 1. Пусть M — гладкое многообразие с аффинной связностью. Пусть хо Є M — фиксированная точка, a Axo — ненулевой элемент касательного пространства Txo(M). Тогда существует единственная максимальная геодезическая т —» 7(т) на М, проходящая через точку хо = = 7(0) в направлении вектора Axo. § 5. Дифференциальная геометрия на группах JIu
187
Доказательство. Систему уравнений (5.7) заменим на эквивалентную ей систему уравнений первого порядка
Теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений первого порядка, примененная к этой системе при начальных условиях 7*(0) = tk(xо), к = 1,2,... ,га, afc(0) = ак(х0), где ак(хо) — координаты касательного вектора Axo, обеспечивает существование геодезической, о которой говорится в утверждении, при |т| ^ <р. Осуществляя процедуру продолжения решения (которая уже была использована при построении максимального потока векторного поля в п. 1.5), находим максимальную геодезическую. Утверждение доказано.
Геодезической, проходящей через точку хо в направлении А, будем приписывать указывающий на это индекс, то есть будем писать т 7д(т). Как и для однопарамет-рических подгрупп, для геодезических выполняется соотношение ja(t) = 7тл(1) и имеет место непрерывная зависимость ее значений от вектора А Є Txo(M). Поэтому можно определить непрерывное отображение А —> 7л (1) некоторой окрестности ноля пространства Txo(M) на некоторую окрестность Uxo в многообразии М. Это отображение является диффеоморфизмом в окрестности ноля и называется экспоненциальным отображением. Оно обозначается через Exp (или Ехрго) и во многом похоже на отображение ехр, определенное в случае групп Ли.
На многообразии с аффинной связностью определены еще два важных объекта. Это — тензорное поле кручения Т, задающее билинейное отображение Т: P(M) х P(M) —> P(M):
и тензорное поле кривизны R, которое паре векторных полей ставит в соответствие линейный оператор в пространст-
вах) dr
- E Iti(T1(T)^V),-. ,7"(т))аЧтМт).
п
«',3=1
T(A1B) = VxB - VsA - [А, В],
(5.8) 188 Глава 2,
ве P(M)-.
R(AtB) = V^V5 - V^V1 - V№ (5.9)
Пусть Xi, X2,... , Xn — базис в левом модуле Zf(U) векторных полей, заданных в некоторой окрестности U С М. (Заметим, что векторные поля X,- не обязательно совпадают
с операторами производной ^fj у как это было выше.) Исходя из равенства
п
[Xi5Xi] = YyCkj(X)Xk,
Jfe=1
определим функции Ckj(ж). Тогда объекты V, T и R можно «локализовать», то есть задать наборами функций Г^, Tkj и Rkjl в окрестности U С М:
vX,*; = ?г?.(*)х*, T(XuXj) = (x)xfc, *=1 fc=i п
R(XuXj)Xi = Y/ rUx"-
Jt=i
Определенные таким образом функции не являются независимыми. Для них выполняются два соотношения, непосредственно вытекающие из определений (5.8) и (5.9):
rpk _ rft _rJi _ Jt
— 1 ij 1 ji Hji
п п
тік _ \ л /rmrfc т-чпт-j: \ і v г* v 1"*? \ л „tnr>a
nijl — 2L< ' J11 Im _ 1 і/ 1 jm) + Лі1 jl ~ ЛІ1 U - 2^, «І ті-tn=l т=1
(5.10)
Функции ckj, Tkj, Rkjt, а также соотношения (5.10) между ними существенно зависят от выбора базисных векторных полей Xt-. Формулы упрощаются, если Xi = —^—. Но такой
dtx(x)
базис не всегда удобен. В частности, на групповом многообразии естественным является базис, состоящий из левоинвариантных (правоинвариантных) векторных полей. Для такого § 5. Дифференциальная геометрия на группах JIu 189
базиса структурные функции Cfci, как показано в § 3, являются постоянными.
