Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
где
и этот матричный ряд сходится относительно любой мультипликативной нормы (то есть нормы, для которой W А В\\ ^ ^ ЦАЦ • ||2?||). С другой стороны, уравнение (3.29) является системой уравнений для матричных элементов матрицы g(r), причем линейной и с постоянными коэффициентами. Поэтому решение существует и единственно. Таким образом, однопара-метрическими подгруппами в GL(n, R) и GL(n,<C) являются матричные экспоненциальные функции т —» ехр(тА) и только они.
Каждая однопараметрическая подгруппа, принимающая значения в некоторой группе G С GL(n, С), является автоматически однопараметрической подгруппой и в GL(n, С), а поэтому также имеет вид т —» ехр(тХ), где X Є Te(G) С С Mat (п,С).
Приведем список матричных алгебр Ли, являющихся алгебрами Ли матричных групп из § 2:
1) ?I(n,C) и ?l(n, М) — все комплексные и вещественные матрицы порядка п соответственно.
2) sl(n,C) и sl(n,M) — все комплексные и вещественные матрицы порядка п с нулевым следом соответственно.
Пусть Ok (п) — одна из матричных групп, сохраняю-
п
щих билинейную форму А'(х, у) = Y KijX1 у^ в простран-
і,з=і § 3. Локальное исследование групп Ли
169
стве Mn, где К — или единичная матрица, или матрица В = diag (1,... ,1, —1,... , — 1), или матрица J. Тогда
Ок(п) = {g Є GL(n,R) \gTKg= К}.
Однопараметрическая подгруппа т схр(тХ) тогда и только тогда является є однопараметрической подгруппой в O^ (п), когда
(ехр{тХ))тК ехр(тХ) = К
для любого т Є М. Дифференцируя это соотношение по г и полагая г = 0, получаем
XtK + KX = Q. (3.30)
Исходя из этого соотношения, продолжим описание алгебр Ли матричных групп Ли:
3) so(п) — все вещественные кососимметричные матрицы порядка п.
4) во (p,q) — все матрицы вида X= ^t ^j1 где AnD-вещественные кососимметричные матрицы порядков р и q соответственно, а В — произвольная вещественная матрица.
5) sp(n,M) — все матрицы вида X = ^ -дт)' где ^ — произвольная вещественная матрица порядка n, а В и С — вещественные симметричные матрицы.
Для матриц, принадлежащих к алгебре Ли группы псевдоунитарных преобразований, аналогом соотношения (3.30) является
Х*К + KX = O. (3.30')
Поэтому
6) и(р, q) — все матрицы вида X= ^, где А и D — косоэрмитовые матрицы порядков р и q соответственно, а В — произвольная р х q матрица.
7) u(n) — все косоэрмитовые комплексные матрицы порядка п. 170
Глава 2,
8) so(n,C) — все кососимметричные комплексные матрицы порядка п.
9) sp(ra,C) — все матрицы вида X=^ где А — произвольная комплексная матрица порядка га, а В и С — комплексные симметричные матрицы.
10) sp(ra) — все матрицы вида X= ( гДе — комп-
лексная косоэрмитова матрица порядка га, а Б — симметричная матрица.
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли
4.1. Экспоненциальное отображение. Решение системы (3.24) непрерывно зависит от координат аг вектора А Є Te(G). Поэтому однопараметрическая подгруппа т —» —» gA(T), являющаяся решением этой системы, определяет отображение касательного пространства Te(G) в многообразие G. Это отображение обозначают символом ехр и называют экспоненциальным отображением. Если учесть наличие алгебраической операции в касательном пространстве, то можно говорить об отображении алгебры Ли ge(G) в группу Ли Gi
ехр: Qe(G) G; ехр(тА) = gA(r). (4.1)
Чтобы определение (4.1) было адекватно свойствам одно-параметрической подгруппы, необходимо показать, что?д(т) зависит фактически от произведения тА. Для этого рассмотрим однопараметрическую подгруппу т -» ?д(<7т), где <7 — фиксированный параметр. Касательным вектором к ней является вектор а А. Вследствие единственности однопараметри-ческой подгруппы с заданным касательным вектором имеем равенство gj\(ат) = g„A(т). Переставляя «гиги полагая <7 = 1, получаем
expM) = gA(r) = gTA( 1). (4.2)
При этом продолжение параметра однопараметрической подгруппы до значения, равного единице, осуществляется с по- § 4. Переход от алгебры JIu к группе JIu
171
мощью соотношения
?^(1) = (^(^-1))", N-1KS.
Теорема 1. В некоторой окрестности U0 начальной точки пространства Qe(G) отображение exp: 0е(G) —> G является диффеоморфизмом.
Доказательство. Бесконечная дифференцируемость значений, пробегаемых однопараметрической подгруппой т —> —> ?д(т) = gv^(l) относительно координат вектора А, очевидна. Найдем дифференциал отображения exp: Qe(G) —> G в окрестности ноля пространства 0e(G). Представителями классов эквивалентных кривых в 0e(G), проходящих через ноль, выбираем прямые т тА. Касательные к ним совпадают с касательными к кривым т —» g^(-r). А это значит, что дифференциал экспоненциального отображения D exp: 0e(G) -» —> 0e(G) является тождественным преобразованием в точке О Є 0e(G). Таким образом, отображение exp: 0e(G) —» G дифференцируемо и невырождено в точке ноль, то есть является диффеоморфизмом. Теорема доказана.
Обратное отображение ехр-1, существующее согласно теореме 1, будем обозначать через In. Оно определено в окрестности Ue = exp U0 единицы группы G. Если в алгебре 0e(G) фиксировать базис, то в окрестности Ue возникает естественная система локальных координат (exp Uo, <р° In), где отображение (р: 0e(G) -» IRn сопоставляет вектор А Є 0e(G) с его координатами а*. Эта система координат называется канонической.
