Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
= g(T))Li(g(T); e)ak = $>?(ff(<r)g(r))ak,
j,k
??(ё(а + т)) = ??(Е(а + т)) = "?Ц(ё(а + т))а*.
з
Видим, что функции t'(g(a)g(r)) и t'(g(a + г)) удовлетворяют одинаковым уравнениям с одинаковыми начальными условиями: ?*(g( CrJg(O)) = t'(g(cr)). Вследствие единственности решения уравнений (3.24) эти функции совпадают. Поэтому t'(g(a)g(r)) = t'(g(cr + г)). Аналогично выводится совпадение t'(g(r)g(cr)) и t*(g(r + er)) как функций параметра <7 Є (—є, є), удовлетворяющих одинаковым уравнениям с начальным условием ^(#(7-)^(0)) = t'(g(T)). Таким образом § 3. Локальное исследование групп Ли 165
убеждаемся, что групповой закон (3.25) выполняется в некоторой окрестности единицы группы. На остальную часть значений параметра т кривая g^(-r) продолжается с сохранением группового свойства с помощью формул
g[T) = g(T/N)N, g(T + a)=g^y g^Y = g(r)g(cr),
(3.26)
где число N подбирается так, чтобы \t/N\ < є/2, \cr/N\ < є/2 и чтобы значения, принимаемые кривой g(r/N), принадлежали окрестности Ue С G. Используя формулы продолжения (3.26), получаем групповой закон умножения для произвольных вещественных т и а. Утверждение доказано.
Задача. Докажите, что правоинвариантное поле Ar — (DRg)A с направляющим вектором А определяет ту же самую однопараметри-ческую подгруппу, что и поле Al = (DLg)A.
Имея соответствие между касательным вектором и однопараметрической подгруппой как представителем класса эквивалентных кривых, проходящих через единицу группы, естественно поставить вопрос о соответствии операций, то есть вопрос о том, как найти кривую, соответствующую касательному вектору С = [А,В] в терминах кривых gA(T) и g?(-r).
Утверждение 5. Касательным вектором к кривой g{-r)=gA(a)gB{a)gl1(a)g?1(a), a = (sign т)>/М, (3.27) является вектор С = [А, В].
Доказательство. Очевидно, что кривая g{r) проходит через единицу группы. Для локальной координаты tl(g(T)) имеет место разложение в ряд Тейлора
t*(g(T)) = ngA{a)gB{a)g-A\a)g-\o)) =
= Y4ktj(gA{a))tk{gB(a)) + ... і,*
(Дальнейшие члены разложения не влияют на касательный вектор, поскольку І*(?д(0)) = t'(g?(0)) = 0.) Вычислим координаты касательного вектора к кривой g(r), считая, что т > 0 166
Глава 2,
(производная справа):
V
= Ес%а3'ьк-
т=+0 І,к
Такой же результат получаем для производной слева. Таким образом, мы показали, что кривая #(т) является непрерывной вместе с первой производной и что касательный к ней вектор С имеет координаты с* = ]Г) cJfca^*- Утверждение доказано.
Суммируя изложенное в этом и предыдущем пунктах, дадим три эквивалентные определения алгебры Ли группы Ли G.
Определение 1. Алгебра JIu группы JIu G — это касательное пространство к группе в единице, наделенное операцией (3.16).
Определение 2. Алгебра JIu группы JIu G — это пространство левоинвариантных (правоинвариантных) векторных полей вместе с операцией коммутирования векторных полей.
Определение 3. Алгебра JIu группы JIu G — это множество классов эквивалентных кривых, наделенное операцией (3.27).
3.5. Алгебры Ли матричных групп Ли. В §2 дан
достаточно богатый список матричных групп Ли. Здесь мы проиллюстрируем схему построения алгебр Ли на примере этих групп.
Напомним, что матричные группы Ли — это подгруппы в GLiji1 К) или в GL(n, С). Их групповые многообразия являются аналитическими подмногообразиями, вложенными в ли-
2 2 нейные пространства Mat (n, Е) ~ Mn или Mat (п, С) ~ С" .
Касательное пространство к любой из них является линейным матричным подпространством в Mat (га, М) или в Mat(n,C), замкнутым относительно соответствующей операции Ли, то есть является подалгеброй Ли в ?e(Gi(n,M)) или в ge(GL(n, С)).
§ 3. Локальное исследование групп Ли 167
Определим структуру алгебры Ли в касательном пространстве Te группы GL(n,R). Локальными координатами матрицы g Є GL(n, Е) естественно считать ее матричные элементы, то есть i4"(g) = gij. Если gA'- ® ->• GL{n,R) — некоторая кривая в GL(n,R) и ?д(0) = е, то матрица А =
= является касательным вектором к ней. Присо-
ат
единенное представление в касательном пространстве действует как преобразование подобия
AdeA=gAg~1.
Отсюда получаем, что билинейная операция Ли в касательном пространстве является обычным коммутатором матриц:
(ad В)А = [В, A] = BA- AB.
Левоинвариантное векторное поле, соответствующее касательному вектору А в локальных координатах g ~> t'^(g) = = gij, имеет вид
Al= E
d(ggA{T))ij d{gA(T))k,
ir^i{gA)ii Ogij-
A д^л(г))Ы dT
(3.28)
Сравнивая эту формулу с формулой (3.20), видим, что левый сдвиг в касательном пространстве осуществляется умножением слева на матрицу g, то есть
DLg ¦ A = gA.
Коммутатор левоинвариантных векторных полей на группе GL(n,M) имеет вид
168
Глава 2,
Поскольку левоинвариантное векторное поле на матричной группе имеет вид (3.28), то отвечающая ему динамическая система сводится к матричному уравнению
^l=S(T)A. (3.29)
Его решение при начальном условии g(0) = е имеет вид g(r) = ехр(тА) = етА,
