Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Группа Ли называется экспоненциальной, если каноническая система координат покрывает всю группу. Экспоненциальными являются все связные односвязные нильпотентные группы Ли.
Ниже мы получим явный вид функций fl(gi,g2), задающих групповой закон умножения в канонической системе координат. Здесь же приведем одно простое, но важное свойство экспоненциального отображения.
Утверждение 1. Отображение exp: Qe(G) —> G имеет свойство натуральности (функториальности). Это значит, 172
Глава 2,
что если задан гомоморфизм Ф: G G' групп JIu, индуцирующий гомоморфизм ?>Ф: ge(G) -» 0e(G') алгебр JIu, то диаграмма
Be(G) ge(Gf)
ехр
G
Ф.
ехр
G'
коммутативна.
Доказательство. Пусть А є ?e(G) и т gA(r) = = ехр(тА) — однопараметрическая подгруппа, соответствующая вектору А. Если Ф — гладкое отображение, то (DQ)A — касательный вектор к кривой т Ф(ехр(тА)), являющейся однопараметрической подгруппой в G', поскольку Ф — гомоморфизм. Вследствие единственности однопараметрической подгруппы с заданным касательным вектором получаем
Ф(ехр(тА)) = ехр(т(ЮФ)А),
что и требовалось доказать.
Утверждение 1 играет важную роль в теории линейных представлений групп Ли. Построение представлений — это построение гомоморфизма группы G в группу GL(V) линейных преобразований некоторого линейного пространства V. Вследствие утверждения 1 представления групп Ли в значительной мере сводятся к представлениям ее алгебры Ли, то есть к построению отображения ?)ф: 0e(G) -» ge(GL(V)) = Экспоненциальное отображение матричной алгебры g[(V) ~ g((n) в случае конечномерных представлений имеет вид обычной экспоненциальной функции от матричного аргумента. То есть, если (DQ)A = Ae 0Ї(п), то
Ф(ехр А) = ехрA = e^ = l + A+ JyА? + ...
В частности, в случае присоединенного представления, когда g Adg, g Є G и X -ї ad X, X Є Be(G), имеем формулу
AdexpX = ead*.
(4.3) § 4. Переход от алгебры JIu к группе JIu
173
4.2. Формула Кемпбелла-Хаусдорфа. Как отмечалось в предыдущем пункте, алгебра Ли ge(G) вместе с фиксированным базисом в ней и отображением In: G -4 Qe(G) образует локальную карту в некоторой окрестности единицы группы G. Здесь мы опишем групповую операцию умножения в терминах алгебраической операции коммутирования в алгебре Ли Qe(G).
Пусть элементы AuB алгебры Be(G) такие, что (ехр А) (ехр В) Є ехр Uo С G. Тогда согласно теореме 1 существует элемент С Є 0e(G), такой что (ехр А) (ехр В) = ехр С, или, с учетом отображения In = ехр-1,
С = In (ехр А) (ехр В). (4.4)
Эта формула, если ее записать в фиксированном базисе пространства fle(G), то есть выразить координаты вектора С через координаты векторов А и В, является групповым законом умножения в окрестности Ue = ехр U0 единицы группы G. Выражение для элемента С в виде бесконечного степенного ряда от некоммутирующих элементов AkB известно под названием формулы Кемпбелла-Хаусдорфа. Вычислим несколько первых членов этого ряда и приведем без доказательства полную формулу в виде, приведенном Е. Б. Дынкиным.
Пусть F(g) — аналитическая функция на G. Тогда ^(йГехр(гА)) — аналитическая функция от г и для нее имеет место разложение в ряд Тейлора по степеням т, 0 ^ т ^ 1:
°° Jfe
F(gexp(TA)) = Y ^-а*- (4.5)
fc=o
Коэффициенты Ofc в этом ряде вычисляются по формуле ак = ?^F(gexp(TA))\T=o = (AkLF)(g),
где Ai — левоинвариантное векторное поле, соответствующее вектору А. Учитывая это, записываем формулу (4.5) в виде
00 к ~
Fteexp(TA)) = ? 2M(a1Lf)(S)- (4-6)
Jfe=O 174 Глава 2,
Для функции F(exp(rA) ехр(а\В)) разложение в степенной ряд относительно переменных т и а имеет вид
Р(ехр(тА) ехр(*В)) = E ^(AlBkF)(e). (4.7)
Ifk
Если ехр(тА) ехр(тВ) є ехр U0 с G, |т| ^ 1, то существует аналитическая кривая т -»• С(т) в Qe(G), такая что
ехр(тА) ехр(тВ) = ехр(С(т)).
Наша цель — найти эту кривую. Поскольку C(O) = 0, то разложение функции С(т) в степенной ряд имеет вид С(т) = = rCi + T2C2 + T3C3 + ..., где Cj, і — 1,2,..., — фиксированные векторы в 0е(С).
Для функции F(expC(r)) имеет место «формула Тейлора»
с»
F(expC(r)) = E ?j((rCi + T2C2 + T3C3 + ...)kLF)(e), (4.8) *=о
где сумма (тСі + T2C2 + T3C3 -I- ...)l представляет собой левоинвариантное векторное поле, соответствующее вектору С(т) Є Te(G). Положим в (4.7) v = т и сравним это равенство с (4.8). В результате получаем соотношения для вычисления полей Ci:
Ci = Ab + BL, C2 + \CI = \(A\ + Bl), C3 + !(C1C2 + C2C1) + \cl = і (I3 + Bi) + + 1 (I2lBl + IlB2l),
откуда имеем C2 = ^[IL,BL] и
C3 = A2lBl + BlI2l + IlB2l + B2lIl) -- і(AlBlIl - BlIlBl). § 4. Переход от алгебры JIu к группе JIu
175
Последнее выражение можно свести к сумме двойных коммутаторов
C3 = ~[AL,[AL,BL] + ~[BL, [.BL, Al]
и тем самым показать, что C3 является левоинвариантным векторным полем, которому однозначно соответствует касательный вектор C3 Є Be(G). Поэтому правую часть соотношения (4.4) можно записать в виде
In (ехр Л ехр В) =A +В+ |[А,В] + + і [А, [А, В]] + і [В, [В, А]]+.... (4.9)
Из формулы (4.9) вытекает, в частности, что функции /'(gi,gi), задающие групповой закон умножения элементов gi = ехр А и gi = ехр В в канонической системе координат, принимают вид
