Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 53

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 154 >> Следующая


C(Aa)F = A.F((exp((a + Аа)Х(т)))(ехр(-аХ(т))))\Т=0.

Если взять предел До- -4 0 и воспользоваться формулой (4.6), то получим

A -tC^F = ? A ^(ехр((Л.)Х(х))I-O = fc=0

= ?xL(r)F(e)\T=0 = YF. Принимая во внимание, что Iim (DLg^a+J^lTyi)(DRg^lT\) =

А?—>О

= Adff(o.)-i, убеждаемся в справедливости формулы (4.14).

Будем смотреть на (4.14) как на уравнение, которому удовлетворяет касательный вектор В(а). Согласно определения (4.13), B(O) = 0. Поэтому

і

B(I) = J Adew-IFdcr =

о

= /(exp(-<radX))FAr = !-exPj-ad^ у. J ad Л

о

Возвращаясь к формуле (4.13), получаем

Поскольку A(I) Є Tg(X)(G) — касательный вектор к кривой т -4 ехрХ(т) в точке g-(l) = expX, a F — касательный вектор к кривой т -4 Х(т) и точке X Є Te(G), то A(I) = = (?>(expX))F, то есть

D(expX) = (DLexpx)1 ~eZ{7dX)- 180

Глава 2,

4.4. Группы Ли в целом. Как уже отмечалось, экспоненциальное отображение и формула Кемпбелла-Хаусдорфа определяют структуру группы Ли в некоторой окрестности единичного элемента в терминах алгебраической операции коммутирования, определенной в касательном пространстве. С другой стороны, при построении алгебры Ли по группе Ли мы использовали закон умножения в как угодно малой окрестности единицы. Эти построения приводят нас к понятию локальной группы Ли, включающем в себя некоторую окрестность ноля V в пространстве Ж" и гладкое отображение /: V х V En, такое что f(x,f(y,z)) = f(f(x,y),z), /(0,ж) = f(x,0) = X, а также отображение j: V —у R", для которого f(j(x),x) = f(x,j(x)) = 0.

Каждую группу Ли можно сопоставить с бесконечно большим числом локальных групп Ли. Для этого достаточно выделить некоторую окрестность единицы VcG, обслуживаемую локальной картой (U,<p) и такую, что V • V С U, V-1 С U, и отождествить ее с помощью гомеоморфизма <р с окрестностью ноля <p(V) в пространстве Rn. Групповая операция и отображение j, сопоставляющее каждому элементу его обратный, задают в окрестности V структуру локальной группы. Очевидно, что алгебры Ли, построенные для разных локальных группы Ли, ассоциирующихся с заданной группой (для различных окрестностей), совпадают.

Структура локальной группы Ли существует для всякой алгебры Ли (над вещественным или комплексным полем, а также над другими полями нулевой характеристики). Действительно, пусть V — некоторая окрестность ноля в алгебре Ли д, в которой сходится ряд Кемпбелла-Хаусдорфа (о сходимости этого ряда см. в [9, 53]). В силу существования базиса в алгебре Ли, окрестность V будем отождествлять с окрестностью ноля в пространстве Rn. Тогда отображение f:VxV-? R", действующее по формуле f(X,Y) = = In (ехр X ехр У), X, Y Є V, а также отображение j: V -? 0, действующее как j(X) = — X, определяют структуру локальной группы Ли в алгебре 0.

Группы Ли G и G' называют локально-изоморфными, если существуют открытые окрестности V и V единиц е и е' § 4. Переход от алгебры JIu к группе JIu

181

соответственно, и аналитический диффеоморфизм Ф окрестности V на Vі, для которых выполняются условия:

а) если gi,g2,gig2 є V, то Ф(gig2) = Ф(ЫФ(Ы;

б) если Є V', то Ф-Vi^) =

Будем отождествлять понятия локального изоморфизма глобальных групп с понятием изоморфизма соответствующих локальных групп.

Утверждение 2. Две группы GuG' локально изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их алгебры Ли g ид'.

Доказательство. Пусть Ф' — изоморфизм алгебр Ли g и д'. Пусть V — окрестность единицы группы G, в которой определено отображение ехр-1 = In. Тогда отображение Ф = ехроФ' о In является диффеоморфизмом окрестности V на некоторую окрестность единицы V' в группе G'. Поскольку ряд Кемпбелла-Хаусдорфа для функции \n(glg2) = = ln(expX1 ехрX2) является рядом многократных коммутаторов, то Ф'(1п(?ї?-2)) = 1п(ехрФ'(Хі) ехрФ'(Jf2)). Отсюда следует условие (а) в определении локального изоморфизма. Условие (б) доказывается аналогично.

Для доказательства обратного утверждения предположим, что группы GkG' являются связными и односвязны-ми. Тогда локальный аналитический гомоморфизм Ф і G G' можно продолжить до гомоморфного непрерывного отображения глобальных групп. Этот факт для топологических групп утверждается в [67], теорема 3 на стр. 74. (Его иногда называют теоремой о монодромии.) Используя утверждение 2 из § 3, устанавливаем, что дифференциал ?>Ф осуществляет гомоморфизм алгебр Ли односвязных групп G и G'. Проводя такие же рассуждения для отображения Ф-1, доказываем изоморфизм алгебр Ли 0 и д'.

Если группы G и G' не являются односвязными, то переходим к накрывающим группам G и G' и доказываем изо-мо?физм соответствующих алгебр Ли. Алгебры Ли групп G и G (G' и G') изоморфны, поскольку дифференциал отображения накрытия является невырожденным в единице группы. Утверждение доказано. 182

Глава 2,

Выделим отдельным утверждением теорему о монодро-мии, которую мы фактически использовали в приведенном доказательстве: вся кий локальный гомоморфизм (в частности, изоморфизм) связной односвязной группы Ли G в произвольную группу Ли G' однозначно продолжается до глобального гомоморфизма GeG'.
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed