Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
/¦'(ехр А, ехр В) =а{+V + ±Y.cWl3bk +
+із E (Г 4л) «w + A E (Е «w +...
j,k,l \ 8 J j,k,l \ 8 J
и зависят только от структурных констант группы.
Из формул (4.6) и (4.7) вытекает, что элемент ехр AeG сопоставляется с оператором левого сдвига в пространстве функций на группе и на аналитических функциях он эквивалентен экспоненциальному ряду по степеням дифференциального оператора Al. Ниже мы будем работать с такими рядами формально, не затрагивая вопросов о сходимости, но будем помнить, что сходимость можно достичь на пространстве аналитических функций Cw(G).
Формальное выражение для векторного поля Cl, соответствующего вектору С = In (ехр Л ехр В), через векторные поля Al и Cl можно получить, воспользовавшись разложением 176
Глава 2,
в ряд функции In г в окрестности точки Z = 1:
(оо OO \
EjMfcEn5O =
Ife=O " J=O " /
= - (-і)"-* ~ AjB[ 2^ то Z-. kl Il
m=1 1 к,1=0,
vfc+J>0
~ (-l)m-l !?1? - Z-/ то Z^ ~kJT7\ І. І/ I ' (4-10)
где внутреннее суммирование в последней части этой цепочки равенств ведется по всем наборам (&) = (кх,к2,... ,кт) и (/) = (h,h, •• - ,Zm) целых неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям ki + li >0, і = 1,2,... , то.
Формула (4.10) дает мало информации о зависимости оператора Cx от Ai и Bl- Более информативным является представление Ci в виде суммы однородных многочленов от не-коммутирующих переменных. Определим такой многочлен:
" / I\m-1 _ JfcIR'1 лкт піт
F„(AL,BL) = Y Щг- E ХчУ к\ Ь
, Л1.«1. • --Лщ-'т-
т=1 (к),(I)
где внутреннее суммирование такое же, как в (4.10), но с дополнительным условием + Zi + ... + кт + Im = п. Легко проверить, что при п = 1,2,3 из формулы (4.11) получаются выражения для C1, C2 и Cz, выведенные выше. Ряд Cl =
ОС ^ _ _
= Yy Fn(AL,BL),-где Fn(AL,BL) заданы формулой (4.11), на-
Tl=I
зывают рядом Кемпбелла-Хаусдорфа.
Формула (4.11) также имеет недостатки, уменьшающие ее эффективность. Во-первых, в ряде (4.11) есть подобные члены. Во-вторых, и это главное, эта формула написана для ассоциативной алгебры векторных полей, и неизвестно, как записать ее аналог для алгебры Ли Qe(G)- Возможность сведения многочленов в формуле (4.11) к сумме n-кратных коммутаторов векторньїх полей требует дополнительного исследования. § 4. Переход от алгебры JIu к группе JIu
177
Такие исследования были проведены Б. Б. Дынкиным в 1947 г. Он получил формулу
OO
C=C(A1B) = E^E (*и+Пі), (4-12)
где
Кг = E
/!+-+Jm-I=I-I
Кг = E
n=i к+г=п
(-l)m+1 (ad A)kl (adВ)11... (ad A)hmB m kiUil...kml ;
(-l)m+l (ad ^fc1 (ad Вуг . ^ (ad Bym-i A
m кг\hl... Im^1I "
ki +...+km—і —к—1 ki+li^l
Формулу (4.12) называют формулой Кемпбелла Хаусдорфа в форме Дынкина. Она имеет смысл как для элементов А и В алгебры 0e(G), так и для векторных полей Al и Bl-
Для практических вычислений ряды в формуле (4.12) не очень удобны, но эта формула важна в принципиальном плане, поскольку доказывает существование групповой структуры в окрестности единицы, исходя только из структуры алгебры Ли в касательном пространстве.
4.3. Дифференциал экспоненциального отображения. В теореме 1 мы исследовали дифференциал экспоненциального отображения в нулевой точке пространства Te(G). В этом пункте мы вычислим дифференциал в произвольной точке X Є Te(G), используя формулы (4.6) и (4.9).
Пусть т Х(т) — кривая в пространстве Te(G), проходящая через точку X, X = X(O), и пусть Y = = dX(т)/(1т\т=о — касательный вектор к этой кривой. При произвольном вещественном а, О ^ a ^ 1, осуществим экспоненциальное отображение значений кривой Х(т) в группу. Получим семью точек g(a, т), зависимую от двух параметров:
g((T,r) = ехр(<тХ(т)) = ехр (а(Х + тУ + ...)). 178 Глава 2,
Соответсвие т -4 ехр(аХ(т)) является кривой в группе G, проходящей через точку g(o) = g(o, 0) и имеющей касательным вектором в этой точке элемент А(о) Є Tg(a)(G):
A(o)F = ?F(exp(aX(T)))\T=o.
Дифференциал левого сдвига DLg отображает пространство Tgl(G) в пространство Tggl(G), в частности, DLgia^1: Tg^(G) -4 Te(G). Положим
DLgW)-.A(a) = В{о) Є Te(G). (4.13)
Покажем, что
= Adew-^. (4.14)
Действительно, согласно определения дифференциала левого сдвига имеем
B(O)F = -?:F(g(o)~1 ехР(<гХ(т)))|т=0 =
= -^pF(exp(—oX) ехр(<гХ(т)))|т=о.
Производную от функционала В(о) вычислим согласно определения:
dB(o)
F= lim ^-(В(о + Ao) - B(o))F,
do д<7-»о А о
(В(о 4- Д<т) - B(o))F - -^-F(exp(—(o + Atr)X) х (4.15)
от
x ехр((<7 + Д<т)Х(т)) ехр(—<тХ(т)) ехр(<тХ)|т=0
(последнее равенство является следствием формулы (4.9), согласно которой касательным вектором к кривой
т -»¦ (ехр т(гг +TZ2 + ... ))(ехр T(Z[ +TZ^+...))
при т = 0 является вектор Z1 + Z[).
Согласно определения дифференциала правого и левого сдвигов формулу (4.15) можно записать в виде
(В(о + Ao) - B(o))F = (DLg-4a+Aa))(DRg{a))C(Ao)F, § 4. Переход от алгебры JIu к группе JIu 179
где касательный вектор C(Aa) Є Te(G) является функционалом, действующим на функции / є C00(G) по формуле
