Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
образуют полную ортонормированную систему функций в гильбертовом пространстве L2(G).
Доказательство. Пусть Sj — замкнутое линейное подпространство в L2(G), натянутое на функции (3.5), a Tr — правое регулярное представление группы G. Поскольку
TR(giKJg) = С„ (ggi) = sumkt^k(g)ttn(gi), (3.6)
то Sj — инвариантное подпространство представления Tr. Вследствие унитарности, ортогональное дополнение также инвариантно относительно Tr (см. доказательство утверждения 2 в § 1).
Пусть утверждение теоремы не выполняется. Тогда і5х не пусто, то есть существует ненулевая функция h(g) ? L2(G), для которой
J h(g)tmn(g) dg= о для всех а, т, п. G
Положим
4g) = J (TR(g)h) (S1)H^dg1.
G
Функция u(g) непрерывна (в силу непрерывности представления Tr) и принадлежит пространству 5эх. Действительно,
J u(g)t^n(g)dg= Y J h(g)tamk(g)dgj h(g)t°Jg)dg=(l.
G kG G
(3.7) 238 Глава 2,
Кроме того, имеем м(е) = ||/і||2 > 0. Легко показать, что функция u*(g) := u(g~x) также принадлежит пространству Sjj-. Положим w(g) = u(g)+u*(g) и рассмотрим интегральный оператор А в L2(G) с ядром K(g,g') = w(g^'1):
W)(g)= J w(gg'-1)f(g')dg' = J K(g,StV(Sf) dg'.
G G
Отметим два важных свойства оператора А.
1. Оператор А коммутирует со всеми операторами TR(g), g€ G. Действительно,
(TR(gl)Af) (g) = J w(gg1g'-1)f(g')dg' =
G
= J w(gg'-1)f(g'g1)dg' = (ATR(gl)f)(g).
G
2. Оператор А является самосопряженным оператором Гильберта-Шмидта. Действительно, симметричность оператора А следует из симметричности его ядра K(g,fS):
ЩйГ) = Hgg-1) + Hg1g-1) = Kig1ig).
Поскольку / \K(g,g)^ dg dg1 < оо, то А — оператор Гильбер-G
та-Шмидта. Он определен и ограничен во всем пространстве L2(G). Как всякий оператор Гильберта-Шмидта, оператор А вполне непрерывен, а симметричность влечет его самосопряженность.
Согласно теореме Гильберта-Шмидта [4], если ядро К не равно тождественно нулю, то оператор А имеет хотя бы одно отличное от нуЛя собственное значение Л и соответствующее собственное подпространство L\ конечномерно. Пусть fx ЄІ>д. Тогда, принимая во внимание (3.7), имеем
/ MgKMdg= і J(Afx)(g)t°jJ)dg =
G G
MATteW J fx(g)tZJg)dg=u.
G
¦і?/ § 3. Представлення компактных групп 239
Поэтому Д Є Sj-1- и L\C Sjj-. Поскольку оператор А коммутирует с операторами TR(g), то собственное подпространство L\ инвариантно относительно представления Tr. Обозначим через Tr его сужение на L\. Представление Tr конечномерно и вполне приводимо. Поэтому Lx = 0 где JSix — подпро-
1
странство неприводимого подпредставления. Пусть {е^} — ортонормированный базис в L\. Тогда
(TR(gl)el)(g) = el(ggі) = E tIMeKg)- (3-8)
j
Поскольку ядро K(g,ff) оператора А является непрерывной функцией на GxG, то собственные функции этого оператора также непрерывны. Поэтому, полагая в (3.8) g = е, имеем
= EtJMe](е), gl eG. j
Это равенство означает, что el(g) Є Sj, а это противоречит включению Lx С fjx. Поэтому Sjd- пусто и Sj = L2(G). Теорема доказана.
Из теоремы Петера -Вейля следует, что каждую функцию / Є L2(G) можно разложить в ряд по матричным элементам неприводимых представлений:
dim Tq
f(g) = E E «,„(Я), (3.9)
осЄІ т,п=1
где коэффициенты разложения вычисляются по формуле
= (dimTa) j f(g)t^Jg)dg (3.10)
G
и ряд (3.9) сходится по норме пространства L2(G). При этом выполняется равенство Парсеваля
dim Ta
№i2ds=E(dimT«)"1 E Ic-I2- (3-11)
аЄІ m,n=l
/ 240
Глава 2,
В качестве следствия из теоремы Петера-Вейля можно получить утверждение о равномерной аппроксимации непрерывных функций на группе G конечными линейными комбинациями матричных элементов неприводимых представлений [23].
Теорема Петера-Вейля дает ответ на вопрос о разложении регулярного представления на неприводимые. Рассмотрим в L2(G) конечномерное подпространство L"n, состоящее из линейных комбинаций функций (3.5) с фиксированными а и т. Согласно формуле (3.6) это подпространство неприводи-мо относительно Tr и сужение представления Tr на Lfn унитарно-эквивалентно неприводимому представлению Ta. Поскольку согласно теореме Петера-Вейля
dim Ta
L2(G) = 0
а?/ m=l
то справедлива следующая теорема
Теорема 3. Правое регулярное представление компактной группы G в пространстве L2(G) разлагается в прямую сумму всех неприводимых унитарных представлений Ta, а Є I, группы G, при этом каждое неприводимое представление входит в разложение столько раз, какова его размерность.
Теперь мы можем доказать следующую теорему.
Теорема 4. Всякое неприводимое представление компактной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно подпредставлению правого регулярного представления.
Доказательство. Пусть T — произвольное неприводимое представление компактной группы G в гильбертовом пространстве й- Зафиксируем в Sj ненулевой (например базисный) вектор еп и каждому вектору f Є Sj сопоставим функцию
fn(g) = (en,T(g)f) (3.12)
на группе G. Эта функция непрерывна и в силу компактности G принадлежит L2(G). Вектору Tfei )f соответствует функция fn(ggi)> которая получается из (3.12) действием оператора TKfei) правого регулярного представления. § 3. Представлення компактных групп 241
