Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Появление четырех одномерных представлений группы D„=2k обусловлено тем, что в этой группе, кроме подгруппы C2k, содержится еще одна инвариантная подгруппа Dk = {е,Z2,... ,z2fc-2; <x,<xz2,... ,<xz2fc_2}. Эта подгруппа является ядром гомоморфизма для представлений Тк+; поскольку D2k/Dk ~ C2, то представление одномерно. Все четыре одномерных представления являются неприводимыми неэквивалентными представлениями коммутативной группы D2 ~ D2k/Ск, Ck = {е, Z2,... , z2k~2}.
Пример 3. Одно специальное представление симметрической группы Sn- Пусть SJn — n-мерное комплексное векторное пространство и Єі,Є2,... ,еп — базис в нем. В этом пространстве естественно определяется представление T группы Sn, операторы которого действуют по формуле
T(p)ei = ep(i), P Є Sn. (4.16)
Представление T приводимо, поскольку одномерное подпростран-
п
ство Sj1, натянутое на вектор є = У] в,;, очевидно инвариантно отно-
«=1
сительно (4.16). Сужение представления T на подпространство Sj1 соответствует тривиальному представлению Ti. Ортогональное дополнение к пространству Sj1 обозначим через f)n_1. Это подпространство состоит из векторов X = aieti для которых = 0.
X
Очевидно, что векторы єї — е2, є2 — ез, ••• ,е„_1 — е„ составляют базис пространства f)"-1. Любой из них цикличен в SJ"-1 при действии операторов (4.16). (Чтобы убедиться в этом достаточно подействовать на вектор еі — Єі+і степенями оператора Т(р„), где рп — полный цикл.) Это доказывает отсутствие инвариантных подпространств, а значит, неприводимость сужения представления T на подпространство fjn_1. Полученное неприводимое представление обозначим через T„_i. 256
Глава 2,
Задача 1. Докажите, что ограничение представления Tn-1 на подгруппу An С Sn остается неприводимым представлением.
Пример 4. Группа симметрий тетраэдра T. Для построения представлений группы симметрий тетраэдра воспользуемся изоморфизмом T ~ At- Группа Ai содержит четыре класса сопряженных элементов:
Ox = {е}, Oa = {(1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (2,3)(1,4)}, O3 = {(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)}, Oi = {(1,3,2),(1,4,2),(1,4,3),(2,4,3)}.
Элементы из класса Oi отличаются от элементов из класса C3 на транспозицию. Поскольку транспозиция не принадлежит группе Aa, то эти классы нельзя перевести друг в друга сопряжением.
Согласно примеру 3 и задаче 1 группа A4 имеет представление Тз размерности 3. Для группы симметрий тетраэдра — это самопредставление, соответствующее ее реализации как подгруппы в SO(S). Представление вещественно, и в декартовом базисе еж, еу, е2 операторы представления, соответствующие порождающим элементам, имеют вид
(10 0 \ /-1 0 0\ 0-1 0 , Гз((1,3),(2,4))= 0 -10 , 0 0-1/ \ 0 0 1/
/0 1 ON
Г3(1,2,3)= 0 0 IJ .
V 0 0/
Остальные неприводимые представления одномерны. Ядром соответствующих гомоморфизмов является инвариантная подгруппа D2 С Ai
D2 ^ {е, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (2,3)(1,4)} (4.17)
Поскольку фактор-группа AijD2 изоморфна циклической группе Cs = {е, (1,2,3),(1,3,2)} С Ai, то три одномерных представления группы Ai, о которых идет речь, соответствуют трем неприводимым представлениям группы Сз:
21ГІ
Tm((l,2,3)) = e 3 m, m = 0,1,2. Среди них представление Tb тривиально. § 4. Представлення конечных групп
257
Пример 5. Группа симметрий куба (октаэдра) К. Как и в предыдущем случае, для построения неприводимых представлений воспользуемся изоморфизмом К ~ 5j (см. гл. 1, п. 3.76). Группа & имеет пять классов сопряженных элементов, представителями которых являются элементы
е, (1,2), (1,2)(3,4), (1,2,3),(1,2,3,4).
Поскольку Si = Ai+ етАі, где а = (1,2), н подгруппа A4 инвариантна, то имеется два одномерных представления, для которых ядро гомоморфизма совпадает с Aa- Одно из них Ti тривиально, а для другого (обозначим его через Т_і) имеем T-i(cr) = —1. Представление T-I называют антисимметричным.
Инвариантной является также описанная выше подгруппа D2. Неприводимые представления фактор-группы SifD2 ~ 5з ~ D3 описаны в примере 2. Среди них два одномерных представления, после поднятия до представлений группы Si, совпадут с представлениями Ti и Т-и описанными выше. Третье представление T2 — двумерно. Следуя примеру 3, построим неприводимое представление T3 группы Si размерности три. Таким образом, имеем четыре неприводимых представления. До полного набора не хватает одного представления. Поскольку ord 54 = 4! = 24, то воспользовавшись формулой (4.12) находим, что размерность недостающего представления равна трем. Определим новое неприводимое представление T3, положив
Tsip) = Tsip)T-iip), где Т_і — одномерное антисимметричное представление. Представления T3 и T3 не являются эквивалентными. В этом убеждаемся, вычисляя детерминанты матриц T3 (<т) и T3 (<т), сг = (1,2). Имеем detT3(tr) = —1 и detT3(cr) = 1. Это доказывает неэквивалентность представлений T3 и T3.
Замечание. Представление T3 является самопредставлением группы К как подгруппы в 50(3), а представление T3 реализует полную группу симметрий тетраэдра.
Пример 6. Группа симметрий икосаэдра (додекаэдра) У. В главе 1, п. 3.76 был установлен изоморфизм Y ~ Ar,- Группа As содержит пять классов сопряженных элементов, представителями которых являются перестановки
