Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 77

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 154 >> Следующая


е, (1,2)(3,4), (1,2,3), (1,2,3,4,5), (2,1,3,4,5).

Пять неприводимых представлений обозначим символами Та, Tf1, Tf2, Tg, Tw. Такая символика принята в физических работах, где 258

Глава 2,

группа As используется как группа симметрий фуллерена — молекулы Ceo- Представление Та -— это тождественное представление, а через Та обозначено представление размерности 4 из задачи 1. Изоморфизм A5 ~ Y С SO(S) определяет трехмерное представление Tf1 - Другое трехмерное представление определим формулой

где а = (1,2). Поскольку элемент ст не принадлежит группе Asj то представления Tpi и Tp2 не эквивалентны. Покажем это, сравнивая характеры представлений. Действительно, характер представления Tf1 можно вычислить по формуле xFl(Oi) = 2 cos а; + 1, где Cii — угол поворота, соответствующий вращению из класса Oi (п. 3.7 гл. 1). Поэтому

Легко проверить, что эти характеры ортогональны между собой и удовлетворяют критерию неприводимости представлений. Это означает, что соответствующие представления неэквивалентны. Характер представления Tg следует из явного вида операторов, определенных в примере 3 при п = 5:

откуда dim Тн = 5. В п. 6.3 будет показано, что пятимерное представление Th можно реализовать в пространстве четных функций на множестве вершин икосаэдра с нулевой суммой значений.

4.5. Таблица характеров. Пусть Oi, O2,--- ,Ok — все классы сопряженных элементов конечной группы G, a X15X2J--- і Xk — характеры ее неприводимых представлений. Будем полагать, что O1 = {е} их1 — характер тривиального представления. Матрицу X = (x*(Oj)), i,j = 1,2,... ,к,

Tf2(P) = ТРі(стрст),

XG = {4,0,1,-1,-1}.

Воспользовавшись формулой (4.12), находим, что (dimТн)2 = 60 - З2 - З2 - 42 - 1 = 52, § 4. Представлення конечных групп

259

составленную из значений неприводимых характеров на классах Oj, называют таблицей характеров. Бе записывают в виде

O1 O2 . Ok
X1 X1(O1) X1(O2) . ¦ X1(Ok)
X2 X2(O1) X2(^2) • ¦ X2(Ok)
Xfc Xk(O1) Xk(O2) ¦ Xk(Ok)

Как будет показано ниже, таблица характеров содержит обширную информацию о самой группе и ее представлениях.

Пусть Ta — неприводимое представление конечной группы G, а х° — соответствующий характер. Положим

Of=YtTcte), а,э = 1,2,...,к. geoj

Тогда для произвольного g\ € G имеем

ЩТа(ёг) = Y T^Sgi) = Y T^Sig) = TaigгЩ.

Seoj еео}

Поскольку представление Tct неприводимо, то согласно следствия 2 леммы Шура имеем О" = b(a,j)E, где E — единичный оператор. Постоянная Ь(а, j) вычисляется, исходя их формулы

Tr Of = Ь(а,з) dimTq =TrY = PJXa(Oj), (4.18)

Seoj

гдеPj — количество элементов в классе Oj. Из формулы умножения классов сопряженных элементов (см. формулу (2) в § 1 главы 1) следует, что

к

OfOf = Y hijiOf. і=і

Но fi" = ЬЕ, где Ь определяется формулой (4.18), поэтому

PiXa(Oi) PjXa(Oj) _ Л. PIX0(Oi) ,41<Л

dim T0 ' dim Tn ~ ^ ijl dim Ta '

Полученное соотношение необходимо для доказательства следующей теоремы о структуре характеров конечной группы. 260

Глава 2,

Теорема 1. Пусть Oi,O2,¦¦¦ ,Ok — классы сопряженных элементов конечной группы G,pi,p2,... ,pk — числа, указывающие количество элементов в соответствующем классе, a hiji — коэффициенты, определяющие умножение классов сопряженных элементов. Пусть уі,у2,... ,yk — произвольные переменные и А = (aji) — квадратная матрица порядка к с матричными элементами

к »=1

Тогда центральная функция Q на G является характером неприводимого представления тогда и только тогда, когда

1) функция

'S«

является корнем алгебраического уравнения det(.4 — XE) = 0;

2) EftC(Oi)CM = ordG;

3) C(O1) > 0.

Доказательство. Пусть С = Xа — характер неприводимого представления. Тогда выполняется соотношение (4.19). Умножая обе его части на yi и суммируя по г, получаем

. PjXa(Oj) Л М99Ї

где aji и Aq определены согласно формул (4.20) и (4.21) соответственно. Формула (4.22) показывает, что вектор-столбец, состоящий из чисел PjXa(Oj)/х°(Oi), j = 1,2,... ,к, является собственным вектором матрицы А с собственным значением Aa. Это означает, что Aa — корень характеристического уравнения det(^4 — XE) = 0. Условие 1) доказано. Остальные условия теоремы очевидны.

Докажем обратное утверждение. Для этого заметим, что по доказанному выше для каждого неприводимого характе- § 3. Представлення компактных групп

261

ра Xа линейная функция

. _ ^PiXa(Oi)ii

переменных 2/1,2/2,••• ,Ук является корнем алгебраического уравнения det (Л — XE) = 0. Легко видеть, что Aq ф X?, если а ф ?. Это означает, что выражения (4.23) при а = 1, 2,... , к, исчерпывают все корни уравнения det (Л — XE) = 0. Если С — центральная функция на G, удовлетворяющая условиям теоремы, то из условия 1 вытекает, что при некотором а имеем

^PiC(Oi) , _ у- PiXa(Oi) U C(Oi) Уі - ° - h Xa(Oi) ш•

Из этого равенства следует, что C = qxa, гДе Q — Q(Oi)Ixa(Oi)-Из условий 2) и 3) вытекает, что q = 1. Таким образом, Q = ха-Теорема доказана.

Утверждение 5. Коэффициенты 1цц, задающие правило умножения классов сопряженных элементов, полностью определяют таблицу характеров конечной группы G.
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed