Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
е, (1,2)(3,4), (1,2,3), (1,2,3,4,5), (2,1,3,4,5).
Пять неприводимых представлений обозначим символами Та, Tf1, Tf2, Tg, Tw. Такая символика принята в физических работах, где258
Глава 2,
группа As используется как группа симметрий фуллерена — молекулы Ceo- Представление Та -— это тождественное представление, а через Та обозначено представление размерности 4 из задачи 1. Изоморфизм A5 ~ Y С SO(S) определяет трехмерное представление Tf1 - Другое трехмерное представление определим формулой
где а = (1,2). Поскольку элемент ст не принадлежит группе Asj то представления Tpi и Tp2 не эквивалентны. Покажем это, сравнивая характеры представлений. Действительно, характер представления Tf1 можно вычислить по формуле xFl(Oi) = 2 cos а; + 1, где Cii — угол поворота, соответствующий вращению из класса Oi (п. 3.7 гл. 1). Поэтому
Легко проверить, что эти характеры ортогональны между собой и удовлетворяют критерию неприводимости представлений. Это означает, что соответствующие представления неэквивалентны. Характер представления Tg следует из явного вида операторов, определенных в примере 3 при п = 5:
откуда dim Тн = 5. В п. 6.3 будет показано, что пятимерное представление Th можно реализовать в пространстве четных функций на множестве вершин икосаэдра с нулевой суммой значений.
4.5. Таблица характеров. Пусть Oi, O2,--- ,Ok — все классы сопряженных элементов конечной группы G, a X15X2J--- і Xk — характеры ее неприводимых представлений. Будем полагать, что O1 = {е} их1 — характер тривиального представления. Матрицу X = (x*(Oj)), i,j = 1,2,... ,к,
Tf2(P) = ТРі(стрст),
XG = {4,0,1,-1,-1}.
Воспользовавшись формулой (4.12), находим, что (dimТн)2 = 60 - З2 - З2 - 42 - 1 = 52,§ 4. Представлення конечных групп
259
составленную из значений неприводимых характеров на классах Oj, называют таблицей характеров. Бе записывают в виде
O1 O2 . Ok
X1 X1(O1) X1(O2) . ¦ X1(Ok)
X2 X2(O1) X2(^2) • ¦ X2(Ok)
Xfc Xk(O1) Xk(O2) ¦ Xk(Ok)
Как будет показано ниже, таблица характеров содержит обширную информацию о самой группе и ее представлениях.
Пусть Ta — неприводимое представление конечной группы G, а х° — соответствующий характер. Положим
Of=YtTcte), а,э = 1,2,...,к. geoj
Тогда для произвольного g\ € G имеем
ЩТа(ёг) = Y T^Sgi) = Y T^Sig) = TaigгЩ.
Seoj еео}
Поскольку представление Tct неприводимо, то согласно следствия 2 леммы Шура имеем О" = b(a,j)E, где E — единичный оператор. Постоянная Ь(а, j) вычисляется, исходя их формулы
Tr Of = Ь(а,з) dimTq =TrY = PJXa(Oj), (4.18)
Seoj
гдеPj — количество элементов в классе Oj. Из формулы умножения классов сопряженных элементов (см. формулу (2) в § 1 главы 1) следует, что
к
OfOf = Y hijiOf. і=і
Но fi" = ЬЕ, где Ь определяется формулой (4.18), поэтому
PiXa(Oi) PjXa(Oj) _ Л. PIX0(Oi) ,41<Л
dim T0 ' dim Tn ~ ^ ijl dim Ta '
Полученное соотношение необходимо для доказательства следующей теоремы о структуре характеров конечной группы.260
Глава 2,
Теорема 1. Пусть Oi,O2,¦¦¦ ,Ok — классы сопряженных элементов конечной группы G,pi,p2,... ,pk — числа, указывающие количество элементов в соответствующем классе, a hiji — коэффициенты, определяющие умножение классов сопряженных элементов. Пусть уі,у2,... ,yk — произвольные переменные и А = (aji) — квадратная матрица порядка к с матричными элементами
к »=1
Тогда центральная функция Q на G является характером неприводимого представления тогда и только тогда, когда
1) функция
'S«
является корнем алгебраического уравнения det(.4 — XE) = 0;
2) EftC(Oi)CM = ordG;
3) C(O1) > 0.
Доказательство. Пусть С = Xа — характер неприводимого представления. Тогда выполняется соотношение (4.19). Умножая обе его части на yi и суммируя по г, получаем
. PjXa(Oj) Л М99Ї
где aji и Aq определены согласно формул (4.20) и (4.21) соответственно. Формула (4.22) показывает, что вектор-столбец, состоящий из чисел PjXa(Oj)/х°(Oi), j = 1,2,... ,к, является собственным вектором матрицы А с собственным значением Aa. Это означает, что Aa — корень характеристического уравнения det(^4 — XE) = 0. Условие 1) доказано. Остальные условия теоремы очевидны.
Докажем обратное утверждение. Для этого заметим, что по доказанному выше для каждого неприводимого характе-§ 3. Представлення компактных групп
261
ра Xа линейная функция
. _ ^PiXa(Oi)ii
переменных 2/1,2/2,••• ,Ук является корнем алгебраического уравнения det (Л — XE) = 0. Легко видеть, что Aq ф X?, если а ф ?. Это означает, что выражения (4.23) при а = 1, 2,... , к, исчерпывают все корни уравнения det (Л — XE) = 0. Если С — центральная функция на G, удовлетворяющая условиям теоремы, то из условия 1 вытекает, что при некотором а имеем
^PiC(Oi) , _ у- PiXa(Oi) U C(Oi) Уі - ° - h Xa(Oi) ш•
Из этого равенства следует, что C = qxa, гДе Q — Q(Oi)Ixa(Oi)-Из условий 2) и 3) вытекает, что q = 1. Таким образом, Q = ха-Теорема доказана.
Утверждение 5. Коэффициенты 1цц, задающие правило умножения классов сопряженных элементов, полностью определяют таблицу характеров конечной группы G.