Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
окрестности нуля пространства К" х
n
+ Y (?Ultj(gl)th(gl)tl(g2) + 7yj(gl)tk(g2)t'(g2)) + . -.
(3-І)
Отсутствие в (3.1) слагаемых, пропорциональных t*(gi)tk(gi) и P(g2)tk(g2) во втором порядке, а также слагаемых V(gi)х xtk(gi)tl(g!) и tj(g2)tk(g2)tl(g2) B третьем порядке и т.д. отображает тот факт, что
Pigue)= Vig1), f{e,g2)=t\g2).
Аналитичность координат элементов g~x относительно координат {?*(g)} означает сходимость ряда
t'ig-1) = -t\g) + E aUtj(g)tk(g) + ... (3.2) j,fc=i
Условие ассоциативности налагает определенные ограничения на коэффициенты
І д2 Pigug2)
aJk =
dv(gl)dtk(g2)
gl=g2=e
Чтобы их получить, запишем условие ассоциативности fUigug2),gz) = f(gi,f(g2,gz)) в локальных координатах, оставляя в разложениях слагаемые до третьего порядка включительно. Получаем соотношение
Tl
Yl(a)makl ~ akjaim) = ?klm + ?'kml ~ Iklm ~ 7Ikm'
J=I
Просуммируем правую и левую части этого соотношения по всем четным перестановкам индексов т,к,1 и от полученной суммы вычтем результат суммирования по нечетным перестановкам. Правая часть равенства при этом превратится § 3. Локальное исследование групп Ли 151
в ноль, а слева будем иметь выражение, которое можно записать в виде
п
E E И» - <)К, - «?*) = 0, (3.3)
J=I (m.k.l)
где, кроме суммирования по j, ведется суммирование по циклической перестановке s индексов m,k,l.
Положим aljm — атj = Cjm. Тогда соотношение (3.3) можно записать в виде
п
E(cU4, + + = о, (3.4)
3=1
в котором узнаем тождество Якоби для структурных констант алгебры Ли (см. § 6 гл. 1). Определенные выше числа Cjm называют структурными константами группы. Как показано ниже, именно они определяют групповой закон умножения на многообразии G.
Каждый элемент g є G определяет два аналитических отображения Lg: G —> G и Rg: G —> G группы Ли G в себя:
Lgl (g) = gig, Rgx (g) = ggi,
называемые соответственно левым и правым сдвигами на группе. Очевидно, что они являются диффеоморфизмами и поэтому соответствующие дифференциалы этих отображений в фиксированной системе координат задаются невырожденными матрицами
DLsM (?^) = (^teio; а)), (3.5) DRg2(S1) (^?^) = (?itei; йЫ). (3.6)
Утверждение 1. Функции fl(g1,g2), задающие в локальных координатах g —> {^(g), ... ,tn(g)} групповую операцию 152
Глава 2,
умножения на многообразии G, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
Tvjim=
j=i
а также системе
dtkig2)
Qfig1)
Zj k - Ij 2j • • • j tij
(3.7)
Zj к — Ij 2, • • • j Tij
(3.8)
где t?(g) = ?}(е, g) и U)ig) = е).
Доказательство. Уравнения на функции Pig1,g2) легко получить, если рассмотреть малые отклонения этих функций от ноля, возникающие за счет того, что аргументы мало отличаются от обратных. Пусть ^2 — такой элемент, координаты которого имеют вид Vigf1) = tl(g2)+el, где є* — произвольные, но малые (за абсолютным значением) числа. Тогда
гіг -і „/\ dPigug2)
Pig2 ,g2) =
gl=g-2
dtk^)
С другой стороны, Pig21^2) = PiKg21^1), KgUgT2)) =
= E
J,fc=l
dPig,fig1,g2))dPig1,g2)
dPigng2) dtkig2)
є*+...
e=g2 gl
Приравнивая правые части полученных равенств и учитывая произвольность єк, получаем уравнение (3.7). Аналогично, рассматривая малые отклонения от ноля функций Pig2Tg21) и P(Kgt2Igi), Kg11^g21)), выводим уравнение (3.8). Утверждение доказано.
Уравнение (3.7) вместе с матричными функциями V?ig) играют важную роль в локальной теории групп Ли. Если существуют решения этих уравнений, то это означает, что групповая операция умножения определена в крайнем случае § 3. Локальное исследование групп Ли
153
в окрестности единицы. Необходимые и достаточные условия существования локального решения (условия интегрируемости) системы уравнений в частных производных первого порядка хорошо известны [27]. Их формально можно записать как равенство вторых производных от искомого решения:
O2Ii(Sngi) d2P(gUg2)
dV(g2)dtk(g2) dtk(g2)dv(g2y
понимая под этим равенством дифференциальное соотношение для правой части уравнения на функции fl(gi,gz).
Учитывая конкретный вид уравнения (3.7), записываем условия интегрируемости в виде
(QV3Hgi) '0Vj(f(g1,g2))
E
TklrrSTjl \
^lV df dp(g!,g2) J
где
4(g) = 4(g,e)
X Li(f(gl,g2)),
dfk(g,g2)
(3.9)
dt1 (gi)
g2=e
то есть матрица (Lk(g)) обратна к матрице (Vk(g)). Равенство (3.9) должно выполняться тождественно относительно переменных t'(g2) и f'(gi,g2), а это значит, что правая и левая части равенства являются постоянными:
(3.10)
Рассматривая левую часть в (3.10) при g = е, вычислим константы cjg. Из равенства (3.7) после дифференцирования по t'(gi) при g2 = е получаем
dVj(g2)
dt1 (gi)
d2f(gugi)
g2=e
dt'(gi)&tj(gi)
gl=g2=e 154
Глава 2,
Таким образом, cjg = а*, — а\в = — с|в, то єсть числа с|я в условии интегрируемости (3.10) с точностью до знака совпадают со структурными константами группы.
Условие интегрируемости (3.10) следует рассматривать как уравнение на функции V- (g). Нахождение этих функций по данным структурным константам является первым этапом в построении локальной группы Ли. Второй этап состоит (согласно классической схеме Ли) в интегрировании уравнений (3.7). Заметим, что уравнения (3.7) вместе с условиями интегрируемости составляют содержание первой и второй теорем Ли [48, 67].
