Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отображения (2.2) распространяются на матрицы g Є 0(p,q) и осуществляют гомеоморфизм окрестности Ue = = {g Є 0(р, q) I det (е + g) ф 0} на открытое подмножество матриц t(g), удовлетворяющих условию B-симметричности
tT(g)B = —Bt(g). (2.5)
Матричные элементы матрицы t(g) являются локальными параметрами в окрестности Ue С 0(p,q). Аналитичность многообразия 0(р, q), а также согласованность операции умножения матриц с аналитической структурой доказываются по той же схеме, что и в предыдущем случае.
2.2г. Симплектическая группа Sp (п, IR). Пусть в вещественном пространстве Vr = Vr1 четной размерности 2п задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма і)(х,у), то есть такая, что i)(x,y) = —i)(y,x). (Ее иногда называют кососкалярным произведением.) Пространство Уд*1 вместе с формой fi(x,y) называют линейным сим-плектическим пространством.
В случае евклидового пространства существует орто-нормированный базис, в котором скалярное произведение 144 Глава 2,
принимает каноническую форму. Аналогичное утверждение, известное под названием теоремы Дарбу, имеет место и для линейного симплектического пространства.
Симплектическим базисом пространства V^n называют набор 2п векторов е\р\ е\д\ і = 1,2,... , п, для которых
Ote1WeW) = = О, П(вМ в}">) =
Другими словами, каждый вектор симплектического базиса косоортогонален ко всем базисным векторам кроме одного, с которым он канонически сопряжен. В симплектическом базисе кососкалярное произведение имеет вид
П(х,у) = YfJijXiVi, J = (Jij)= (2-6)
i,j \ п п/
где In и On — единичная и нулевая п х п матрицы, соответственно.
Линейные преобразования пространтсва Vft1, сохраняющие кососимметрическое скалярное произведение 0(х, у), называют симплектическими преобразованиями. Они образуют группу, называемую симплектической. Ее обозначают через Sp (Уд"). Существование симплектического базиса позволяет изоморфно отобразить пространство V^n в R2n, а группу Sp (Vftn) в матричную группу Sp (п, R):
Sp (тг, Ж) = {g E Mat (2ті, R) | ^ Jg = J}, (2.7)
называемую вещественной линейной симплектической группой.
Утверждение 1. Определитель матрицы g є Sp (п, R) равен единице.
Доказательство. Образуем кососимметрическую форму и) = Sl ASl Л... Ail, являющуюся тг-кратной внешней степенью билинейной кососимметрической формы П. Размерность' пространства кососимметрических форм максимального ранга в пространстве Vft1 равна единице. Поэтому
w(xi,x2,... ,х2„) = cA(xi,x2,... ,х2„), § 2. Группы Ли. Матричные группы
145
где с — константа, а А — кососимметрическан форма объема, принимающая на векторах Xi5X2,... ,X2n значения
При линейных преобразованиях пространства х —»gx., g Є Sp (п, R), имеем
A(gxi,gx2,-.- ,gX2n) = (det g)A(xi,x2,... ,x2n).
Если преобразование g симплектическое, то оно сохранает форму U, а следовательно, и форму од. Поскольку формы w и А пропорциональны, то
c(det #)А(хьх2, ... , x2n) =
откуда следует, что det g = 1. Утверждение доказано.
Вещественная симплектическая группа Sp (п, К) является группой Ли. Действительно, параметризация окрестности единицы Ue = {g Є Sp (п, R) I det (е + g) Ф 0}, как и в предыдущем случае, осуществляется с помощью отображения Кэ-ли (2.2). Образ этого отображения t(g) принадлежит линейному пространству матриц, для которых выполняются соотношения
Матричные элементы Uj(g) матрицы t(g) являются локальными координатами в окрестности Ue С Sp (п, R). Доказательство аналитичности многообразия Sp (п, К) и аналитичности групповых операций осуществляется по предыдущей схеме.
2.2д. Унитарная группа U(n). Пусть в комплексном линейном пространстве Vc = Vg задано эрмитово скалярное произведение, то есть «полу тора линейная» комплекснозначная форма Н(х,у), такая что
= w(xi,x2,... ,X2n) = cA(Xi,X2, . . . ,X2n),
tT(g) J = -Jt(g).
(2.8)
а) Я(ах, ?y) = а0Н(х, у), a, ? Є С, 146
Глава 2,
б) Я(х,у)=Я(у,х),
в) Я(х,х) > 0, если X ф 0.
Пространство Vg, в котором задана форма Я(х, у), называется эрмитовым или унитарным. В таком пространстве существует ортонормированный базис ei,е2,. -. , еп, такой что Я(е,-,ег) = Sij. В этом базисе эрмитово скалярное произведение имеет канонический вид: Я(х, у) = ^ijxtVi- Ли-
нсйныс преобразования пространства Vg, сохраняющие эрмитово скалярное произведение, образуют группу U(Vg), называемую унитарной группой пространства Vg. При фиксации базиса пространство Vg изоморфно отображается в пространство С™, а группа U(Vg) — в матричную группу
U(n) = {и Є Mat (ті, С) I и* и = е}, (2.9)
где и* = йТ. Очевидно, что | det и\2 = 1 для и Є U(n).
Специальная унитарная группа SU(n) состоит из унитарных матриц с единичным определителем. Она является инвариантной подгруппой в U(n), причем U(n)/SU(ri) ~ U(I).
Группа U(n) является компактной группой JIu. Это непосредственно вытекает из определения этой группы. Действительно, если в пространстве Mat (п, С) определить эрмитово скалярное произведение H(g\,g2) = Tr gig%, то легко видеть, что группа U(n) — замкнутое подмножество на сфере S2n = {g G Mat (п, С) I Tr gg* = п} в этом пространстве, а поэтому является компактным множеством.
