Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
J U) = JU)(A1,A2,... ,Ak)dTXdT2 ...dTk,
Фк(ік) Ik
где поля Am, тп = 1,2,... ,к, определены формулой (1.27). § 1. Элементы, анализа на многообразиях
137
Если
W= Y b>iii2~ik(x)dtil Л<ЙІЗ Л...Adtik, «1<«2< — <й
ТО
Jw= Л / "W-ц det ( T1' •'! ' T J dTl ¦ ¦ ¦dT
Фк(Ік) h<'2<—<ik Jk \ /
(1.28)
(t*і ... t'fc \
Tl'*" 'Tfc ) 03начает один из миноров матрицы Якоби отображения Фк. Формула (1.28) используется для вычисления интегралов от fc-форм.
1.8. Когомологии де Рама. Дифференциальные формы, для которых du) = 0, называют замкнутыми. Множество замкнутых форм степени к обозначают через Zk(M). Дифференциальные формы, полученные дифференцированием форм низших степеней, называют точными формами. Поскольку d2 = 0, то каждая точная форма замкнута. Пространство точных форм степени к на многообразии M обозначают через Bk(M).
Если две замкнутые дифференциальные формы фиксированной степени отличаются на точную форму, то говорят, что они принадлежат к одному когомологическому классу. Множество классов когомологически эквивалентных дифференциальных форм степени к образуют абелеву группу относительно сложения, обозначаемую через Hk(M) и называемую к-й группой когомологий де Рама многообразия М:
Hk(M) = Zk (M)/Bk (M).
п
Множество Н*(М) = ф Hk(M) называют кольцом когомоло-fc-o
гий де Рама. (Структура кольца возникает за счет операции внешнего умножения дифференциальных форм.)
Группы когомологий де Рама — важные топологические характеристики гладких многообразий. Нетривиальность этих групп означает, что многообразие существенно отличается от евклидового пространства. 138
Глава 2,
В открытых областях пространства Rn существуют замкнутые формы, не являющиеся дифференциалами от форм меньшей степени. Известным примером является следующая форма степени п:
п+1
W = У (-1Г-?-;-X
ЫХ [(*1)2 + (t2)2 + ... + (tn+1)2](п+1)/2
Xdt1 Л... Л dtЛ dti+1 Л ... Л dtn+1,
определенная в пространстве Мп+1\{0}. Эта форма инвариантна относительно ортогональных преобразований из группы 0(п + 1) и при сужении на сферу Sn пропорциональна инвариантной форме объема на Sn.
Классическая лемма Пуанкаре — это утверждение о тривиальности групп когомологий всего пространства Mn или его открытых звездных областей. Напомним, что открытое множество U в М" называется звездным относительно точки О, если вместе с точкой X оно содержит весь отрезок Ох.
Лемма Пуанкаре. Каждая замкнутая дифференциальная форма на открытом звездном множестве в Iln является точной.
Доказательство базируется на свойствах оператора П, отображающего пространство Ak (Mn) в пространство Afc-1 (Mn) и имеющего вид
і
= k J tk~XT^u{tx)dt,
о
где Tjf — оператор свертки с векторным полем X = ^ х'^К.
і дх
Оператор П можно определить только в звездной области (или во всем пространстве Mn) и для него выполняется соотношение
й(Пш) + n(dw) = w,
откуда для замкнутых форм имеем г/(Пш) = ш, то есть каждая форма и) является дифференциалом от формы Пал § 2. Группы Ли. Матричные группы
139
§ 2. Группы Ли. Матричные группы
2:1. Определение групп Ли. Группой JIu (вещественной или комплексной) называют группу G, элементами которой являются точки аналитического многообразия (вещественного или комплексного соответственно), а групповые операции (операция умножения и операция взятия обратного элемента) согласуются с аналитической структурой. Последнее означает, что задающее групповое умножение отображение /: G х G -> G, где f(gi,g2) = gig2, а также отображение j: G —»¦ G, где j(g) = g~l, являются аналитическими отображениями.
Пусть G — вещественная группа Ли. Поскольку G — многообразие, то это означает, что каждому элементу g Є G сопоставляется набор параметров — локальных координат точки g:
S-Mt1(S)^te),->«"(*)}•
Параметры tl(g), г = 1, 2, ... , п принимают значения в некоторой окрестности D пространства Kn, если элемент g пробегает открытую окрестность U в группе G. Окрестность UcG вместе с гомеоморфным отображением <р: g-* {?*(#)} образуют локальную карту на группе G.
При наличии локальных координат аналитичность групповой операции означает аналитичность координат произведения двух элементов относительно координат множителей, а также аналитичность координат элемента g~x относительно координат {?*(#)}) то есть аналитическими являются функции
S(Hgug2)) = rtfUsi), t2(gi),---,tn(gi);
t4g2),t2(g2),... ,t"(g2)),
tHg-1) =*Ш) = Ji(^g),t2(g),... ,tn(g)),
рассматриваемые как функции многих вещественных переменных.
Примером локальной параметризации группы Ли является параметризация группы SO(B) углами Эйлера, приведенная 140
Глава 2,
в § 3 гл. 1. В этом случае отображение Ipl ортогональной матрице g — (gkj) Є SO(S), в которой ійззі ф 1, сопоставляет три угла Эйлера:
Другая локальная карта ([/г, <р2) обслуживает окрестность единицы группы 50(3):
ратное отображение <р21 сопоставляет набору углов {ір1, в1, ф'} матрицу
Связь параметров {ір',в',ф'} с углами Эйлера в общей области определения осуществляется аналитическими функциями.
