Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
[Af,Af] = D^AuA2]. (1.19)
Доказательство. Согласно формуле (1.18) Af (Aff)(4>(x)) = Af (Af f о Ф)(ж) = A,(A2(f о Ф))(Ж), откуда
([If, If]/) (ФИ) = [I1, A2](f о Ф)(х). § 1. Элементы, анализа на многообразиях 133
Воспользовавшись определением (1.17) дифференциала отображения Ф, получаем конечный результат:
([If ,Л*]/)(Ф(ж)) = (ОФ[А1,А2}/)(Ф(х)).
Утверждение доказано.
Пусть далее Ф — диффеоморфизм многообразия M в себя. Сопоставим ему линейное преобразование 7г(Ф) в пространстве C00(M), действующее по формуле
п(ф)/(х) = /(ф(х)). (1.20)
Если Ф = ФТ — локальный поток некоторого векторного поля В, то согласно определения имеем
~ dn( ФТ)
dr
т=0
Векторные поля являются линейными операторами в C00(M). Поэтому линейный оператор (1.20) индуцирует преобразование подобия в пространстве Sf(M), обозначаемое через 7г*(Ф). Если А Є Sf(M), то
7Г*(Ф) • А = 7Г(Ф) о Л о 7г(Ф-1).
Если ФТ — локальный поток векторного поля В, то оператор
dw*( Фт)
Xs =
в dr
т=0
называют производной JIu в пространстве векторных полей. Легко показать, что
XsA = [В, А].
Линейные дифференциальные формы — это отображения пространства ST(M) в пространство функций C00(M). Поэтому оператор 7г* (Ф) в пространстве A1(M) имеет вид
тг*(Ф)а = тг(Ф) 00 07г,(Ф-1), O Є A1(M), 134 Глава 2,
то есть форма а* = 7г*(Ф)а действует на векторное поле Л Є Sf(M) согласно формуле
аф(Л) =тг(Ф)а(тг,(ф-1)Л).
Эта формула распространяется на формы произвольной степени. Если и Є Ak(M), то
(n*(S)w)(A1,A2,...,Ak) =
= тг(Ф)и(ж.(Ф-1JA1,..., тг^ф-^Ак). (1.21)
Оператор <?•- =
В dr
странстее к-форм. Легко показать, что
называют производной JIu в про-
т=0
(Х^и)(Аи A2,..., Ak) = BuiA1, A2,..., Ak) -к
-5>(Ab... ,[В, Ai],..., Ak). (1.22) f=i
В градуированной алгебре A(M) оператор X- является дифференцированием степени 0. Это значит, что
X^u1 A и2) = X^u1 A U2+ U1 А Х*ъи2. (1.23)
Свойство (1.23) вытекает непосредственно из определения производной Ли в пространстве дифференциальных форм.
Для применений полезной является формула, связывающая оператор X- с оператором внешнего дифференцирования
в
и оператором свертки:
X*s = TSd + dTS. (1.24)
Справедливость этой формулы достаточно проверить на функциях и линейных формах. Ее распространение на формы высших степеней осуществляется с помощью формулы (1.23). Для / Є C00(M) имеем с одной стороны X-f = Bf, а с другой — Tg/ = 0, (Tgd)/ = Tgd/ = Bf. Таким образом, соотношение (1.24) выполняется в пространстве функций. § 1. Элементы, анализа на многообразиях
135
Пусть а Є A1(M). Тогда
((Tgd + dr5)a)(A) = da(B, А) + d(a(B))(A) = = Ba(A) - a([B,A]) =
Таким образом, соотношение (1.24) выполняется в пространстве линейных форм.
1.7. Интегрирование дифференциальных форм.
Для начала определим интеграл от линейной формы а Є A1(M) вдоль кривой г -> х(т), т Є [0,1]. Будем считать, что кривая, пробегая все свои точки, не выходит за пределы локальной карты (U, (р). С кривой будем ассоциировать касательное к ней векторное поле Ах(т), имеющее в локальных координатах X -> (?'(а;)} вид
2- ^dVjx(T)) Q
dT дё(т)'
Разобьем отрезок [0,1] точками r0 = ojtljt2,... ,тлг, на более мелкие отрезки Afc = [rfc, 7fc+1] и каждый из них сопоставим с касательным вектором Ak = IAfcIA(Tk)- Форма а = принимает на этом векторе значение
і
а{Ак) = \Ак\^і(х(тк))(^Ц
i=l \ / т=тк
где ?*(т) = Р(х(т)). Составим сумму
SlAfcIEaiHrfc)) f , (1.25)
fc=0 і=1 V т / T=Tk
являющуюся интегральной суммой для гладкой функции
/(т) =O(Acm) =?^(!(7))^. і= 1 136 Глава 2,
Естественно определить интеграл от форм а вдоль кривой т -> х(т) как границу интегральной суммы (1.25):
Г N Г
a= Iim Y^a(Ak) = a(AHT))dT. (1.26)
J JV-юо f—' J
х(т) |-Ю О
Для определения интеграла от линейной формы вдоль кривой, значения которой выходят за пределы одной карты, необходимо рассмотреть отрезки кривой т —> х(т) в пределах отдельных карт. Если {жа(т)} = {ж(т)|т Є [0,1]} П [/„, то отрезком кривой будем называть отображение а —> ха(сг) Є Є {жа(т)}, сг Є [0,1]. Проведя интегрирование в пределах каждой карты согласно формуле (1-26) и сложив результаты, получим интеграл вдоль кривой т -> х(т).
Перейдем к построению интеграла от &-формы по fc-мер-ным подмножествам в многообразии М. При построении многомерного интеграла в роли элементарной области интегрирования удобно брать так называемый fc-мерный сингулярный куб. Сингулярным к-кубом называют гладкое отображение Ф* прямого произведения к единичных отрезков [0,1] С К в многообразие M:
Ф*: Ik -> М, Ik = {(тх, та>... , тк) Є Mfc 10 ^ Ti ^ 1}.
Через каждую точку х Є Фfc (Zfc), принадлежащую образу отображения Фк, проходит пучек кривых
т -> хт{т) = ФfcCljT2,... ,Tm_l5Tm + T,Tm+1,... ,Tk), тп = 1,2,... ,к. Каждой кривой этого пучка соответствует векторное поле
(из .
«=1 \ / т=О \ vV ж=ж„(0)
(1.27)
Интеграл от fc-форм w по сингулярному кубу Ф*(Ik) естественно определить как fc-кратный интеграл от функции ^(A1, A2,... ,Afc):
