Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 1. Пусть А — векторное поле на М. Для любой точки Xo Є M существует такая окрестность U этой точки и є > 0, что
(а) существует единственное решение системы (1.16) для всех т Є [—є, є], которому соответствует гладкая кривая т -)¦ х(т), проходящая через точку Xq = ж(0);
(б) определена однопараметрическая семья диффеоморфизмов Фт: U -)¦ М, для которой Фо(&о) = х0, Фт(Ф„.(ж)) = = Фт+0.(ж), если |т| < є, \и\ < є и |т + а\ < є, а х(т) и Фст(ж(т)) принадлежат окрестности U.
Доказательство. Утверждение (а) является прямым следствием стандартной теоремы о существовании единого решения системы обычных дифференциальных уравнений в пространстве Ж". Поскольку на многообразии координатное отображение (р: U —> Ж" является гомеоморфизмом, то функции т -» It1(T), ?2(т), ... , ?п(т)} (являющиеся решениями системы (1.16) с начальным условием |tl(0)} = = (р(хо)) являются координатами кривой т —> х(т) = = V1^1(T)5P(T),..., іп(т)), проходящей через точку X0. Для упрощения будем говорить, что кривая т -)¦ х(т) является решением системы (1.16). 130
Глава 2,
Решения системы (1.16) гладко зависят от начальных условий. Поэтому соответствие хо х(т) при каждом фиксированном г можно рассматривать как гладкое отображение окрестности U в себя. Обозначим это отображение через Фт: Ф-г(жо) = х(т). Ясно, что Ф0 — тождественное отображение. Рассмотрим кривую т —» Фг(Фст(жо)), являющуюся решением уравнения (1.16) с начальным условием ж(0) = = Фст(ж0). Кривая т —> Фт+ст(жо) также является решением этой системы уравнений с тем же начальным условием. Если |т| < є, |ег| < є и |т + ег| < є, то вследствие единственности решения имеем Фт(Фа.(хо)) = Фт-+<х(жо)- Ясно также, что ФЛФ-г(жо)) = ^+т^о)- ^ этих правил композиции вытекает, что Ф_т = Ф"1, то есть отображение Фт: U U является диффеоморфизмом. Теорема доказа-
Семейство отображений Фт: U —» U, |г| < є, называют локальным потоком векторного поля А. Локальную кривую г -» х(т) можно продолжить за пределы исходной окрестности U, применяя теорему существования и единственности решений в окрестростях точек Xa = х(та), которые могут принадлежать пересечениям U П Ua. Продолжая этот процесс насколько возможно, получаем семейство отображений Фт-, действующих в области D С M и г Є (а, Ь) э (—є,є). Поток Фт называют максимальным, если он не является сужением некоторого потока того же векторного поля, определенного в более широкой окрестности U' D D и при больших значениях |т|.
Однопараметрической группой гладких преобразований многообразия M называют семейством диффеоморфизмов Фг: M —» М, определенных при всех значениях г Є Ж и такую, что
(а) отображение Ф: ffi х M -> М, переводящее пару (г, ж) в Фт(ж), является бесконечно дифференцируемым по обеим аргументам;
(б) Фт+(Т = ФтоФ^ = Ф^оФт при всех г, сг Є Ж;
(в) Фо — тождественное отображение. § 1. Элементы, анализа на многообразиях
131
Однопараметрическая группа преобразований порождает векторное поле Аф на многообразии М, определяемое формулой
dr
T=О
Поле Аф называют генератором или инфинитезималъным порождающим оператором однопараметрической группы Фх. Если для некоторого векторного поля А его локальный поток Ф-г удается расширить до однопараметрической группы гладких преобразований многообразия М, то говорят, что существует глобальный поток. Это не всегда возможно.
Задача 1. Покажите, что для векторного поля А = х2 - на прямой глобального потока не существует.
Задача 2. Докажите, что гладкое векторное поле на компактном многообразии всегда является генератором однопараметрической группы преобразований.
1.6. Поведение векторных полей и дифференциальных форм при диффеоморфизмах. Пусть Ф — диффеоморфизм многообразия M в себя или в другое многообразие N. Каждый такой диффеоморфизм индуцирует линейное отображение 1)Ф касательных пространств:
?>Ф: Txo(M) -> ТФ(го)(ЛГ),
называемое дифференциалом отображения Ф. Если Axo — касательный вектор К кривой T х(т) В точке Xq = ж(0) Є М, то DQ-Axo = Ay0 — касательный вектор к кривой т —»¦ у(т) = = Ф(ж(т)) B точке Уо = Ф(жо) Є N, то есть
(?>Ф ¦ AX0)f(y) = AXof(Ф(®)). (1.17)
В локальных координатах х -»¦ {^(2:),^(2:),...,^(2:)} в окрестности Uxo С M и в локальных координатах у -> -> {t'l(y),t'\y),... ,t'm(y)}, у Є Uy0 С N, формула (1.17) 132 Глава 2,
имеет вид
\dt (y)Jy=vo
v^ it ^(dt>i(y) my) \
то есть координаты касательного вектора Af0 выражаются через координаты вектора Axo по формуле
хорошо известной в классическом векторном анализе.
Векторные поля А и В, заданные на многообразиях M и N = Ф (M), соответственно, называются Ф -связными (пишут В = Аф), если значение поля В в любой точке у = = Ф(ж) Є N получается из значения поля А в точке х Є M отображением DФ, то есть
A*{x) = ВЧх) = DS-Ax или (Bf)(Ф(х)) = А(/-Ф)(х). (1.18)
Если Ф — отображение многообразия M в себя, то формулы (1-18) описывают связь значений векторного поля в различных точках.
Утверждение 1. Если Ф — гладкое отображение многообразия M в многообразие N (или в себя) и A1, A2 Є д'(М), Af, Af Є P(N), то
