Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 46

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 154 >> Следующая


Уравнения (3.10) приобретают дифференциально-геомет-рическое содержание, если записать их в форме, которую им придал Маурэр:

0F* BVi і "

- = \ E ^Vi - ViVl). (3.11)

e,t=i

Введем локальные дифференциальные формы Wt= Vj(g)d0.

j

Тогда условие (3.11) можно записать в виде

(Ь, = ^Ег'>8ДсЛ (3-12)

8,1

Дифференциальным формам шг, а также условиям интегрируемости в виде (3.12), можно придать глобальный смысл. Это сделано в следующем пункте.

3.2. Алгебра Ли группы Ли. Поскольку группы Ли являются гладкими (аналитическими) многообразиями, то их исследуют методами дифференциальной геометрии. Касательное пространство, векторные поля и дифференциальные формы, связность, псевдориманова метрика — вот основные элементы понятийной системы дифференциально-геометрического анализа. В случае групп Ли касательное пространство наделено дополнительной структурой — билинейной антисимметрической операцией, удовлетворяющей тождеству Якоби, то есть оно является алгеброй Ли. Левый § 3. Локальное исследование групп Ли

155

(или правый) сдвиг на группе позволяет выделить в множестве гладких векторных полей конечномерное пространство ле-воинвариантных (правоинвариантных) полей, являющееся замкнутым относительно операции коммутирования векторных полей, то есть оно также является алгеброй Ли. Эти алгебры Ли изоморфны, а изоморфизм осуществляется дифференциалом левого (правого) сдвига. Соответствующие матрицы в локальных координатах задаются формулами (3.5) и (3.6).

3.2а. Касательное пространство к группе Ли. В случае групп Ли наиболее удобным является определение 2 касательного вектора нз § 1.

Пусть т —>¦ g(r) — гладкая кривая на группе Ли G, проходящая через единицу группы, и пусть gfO) = е. Пусть C00(G) — пространство гладких функций на G, a C00(JZe) — его локализация на окрестность единицы Ue. Тогда касательный вектор Ae в точке е Є G — это линейный непрерывный функционал на пространстве C00(Ue), действующий согласно формуле

df(g(r))

Aef =

(3.13)

дт

t=o

В локальных координатах g —>¦ (i*(g)} формула (3.13) приобретает вид

df(g)

Aef = ]Ра'(е):

~ dtt^ *=е

где числа а*(е) = dt*(g(r))/йт\т=0 являются координатами касательного вектора. Они однозначно фиксируют функционал Ae в соответствующей локальной системе координат.

Ниже мы будем иметь дело, как правило, с касательными векторами в единице группы и поэтому индекс е, указывающий на это, будем опускать. Вместо этого будем приписывать кривой индекс, указывающий на соответствующий касательный вектор, то есть кривую будем задавать как соответствие т —> Очевидно, что каждому касательному вектору соответствует класс эквивалентных кривых.

Касательное пространства к группе G в точке g = е — это множество всех касательных векторов (3.13). Будем обозначать его через Te(G). При фиксации локальных координат 156

Глава 2,

пространство Te(G) изоморфно отображается на пространство М", элементами которого являются последовательности (о1,... , а"). Согласно общей теории гладких многообразий, Te также можно трактовать как множество классов эквивалентных гладких кривых на G, проходящих через точку е Є G.

3.26. Присоединенное представление группы G. Каждый элемент g E G задает отображение группы G в себя: gi —»• ggig"1. Это отображение является диффеоморфизмом, оставляющим неподвижной единицу группы. Дифференциалом этого отображения является линейное невырожденное преобразование пространства Te(G). Оно обозначается через Ad g или Adir:

(AAeA) f = A'f = J: HggA^g'1)^. (3.14)

Легко проверить, что отображение g —> Adff является гомоморфизмом группы G в группу GL(Te) линейных преобразований пространства Te. Его ядром является центр группы G. Этот гомоморфизм называют присоединенным представлением группы G, а линейное преобразование А —> AdffA — присоединенным действием элемента g Є G.

В локальных координатах {?'(#)} с помощью разложений (3.1) и (3.2) получаем

п

^nggA(T)g-1)|т=0 = Oi + S ((аЫ - <*k)tk(g) + ..>'•

Отсюда для матрицы оператора Adff имеем разложение в ряд Тейлора

п

(Adff)J = <5j + ?4 /(g) + ... (3.15)

fc=i

3.2в. Структура алгебры Ли в касательном пространстве. Линейный оператор Adff гладко (аналитически) зависит от g Є G, а следовательно, от параметров а Є М, если g пробегает значения кривой er ge(<r) с касательным вектором В Є Te(G). Производная операторной функции Adffs § 3. Локальное исследование групп Ли

157

по параметру er при er = 0 существует и также является линейным преобразованием пространства Te(G). Обозначим это преобразование через ad В, указывая на зависимость от касательного вектора к кривой er —> g?(cr):

w> •

<г=0

Действие оператора ad В на вектор А определяет в касательном пространстве Te(G) билинейную операцию между векторами В и А. Результат этой операции обозначают через [В,Л], то есть В: А (adВ)А = [.В,А]. Касательный вектор С = [В, Л] является функционалом, действующим на функции / Є C00(Ue) по формуле [B,A]f = ((BdB)A) f =

= ?(jp HgB(VteA(T)gB1(CT))W=O^ . (3.16)
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed