Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (3.10) приобретают дифференциально-геомет-рическое содержание, если записать их в форме, которую им придал Маурэр:
0F* BVi і "
- = \ E ^Vi - ViVl). (3.11)
e,t=i
Введем локальные дифференциальные формы Wt= Vj(g)d0.
j
Тогда условие (3.11) можно записать в виде
(Ь, = ^Ег'>8ДсЛ (3-12)
8,1
Дифференциальным формам шг, а также условиям интегрируемости в виде (3.12), можно придать глобальный смысл. Это сделано в следующем пункте.
3.2. Алгебра Ли группы Ли. Поскольку группы Ли являются гладкими (аналитическими) многообразиями, то их исследуют методами дифференциальной геометрии. Касательное пространство, векторные поля и дифференциальные формы, связность, псевдориманова метрика — вот основные элементы понятийной системы дифференциально-геометрического анализа. В случае групп Ли касательное пространство наделено дополнительной структурой — билинейной антисимметрической операцией, удовлетворяющей тождеству Якоби, то есть оно является алгеброй Ли. Левый§ 3. Локальное исследование групп Ли
155
(или правый) сдвиг на группе позволяет выделить в множестве гладких векторных полей конечномерное пространство ле-воинвариантных (правоинвариантных) полей, являющееся замкнутым относительно операции коммутирования векторных полей, то есть оно также является алгеброй Ли. Эти алгебры Ли изоморфны, а изоморфизм осуществляется дифференциалом левого (правого) сдвига. Соответствующие матрицы в локальных координатах задаются формулами (3.5) и (3.6).
3.2а. Касательное пространство к группе Ли. В случае групп Ли наиболее удобным является определение 2 касательного вектора нз § 1.
Пусть т —>¦ g(r) — гладкая кривая на группе Ли G, проходящая через единицу группы, и пусть gfO) = е. Пусть C00(G) — пространство гладких функций на G, a C00(JZe) — его локализация на окрестность единицы Ue. Тогда касательный вектор Ae в точке е Є G — это линейный непрерывный функционал на пространстве C00(Ue), действующий согласно формуле
df(g(r))
Aef =
(3.13)
дт
t=o
В локальных координатах g —>¦ (i*(g)} формула (3.13) приобретает вид
df(g)
Aef = ]Ра'(е):
~ dtt^ *=е
где числа а*(е) = dt*(g(r))/йт\т=0 являются координатами касательного вектора. Они однозначно фиксируют функционал Ae в соответствующей локальной системе координат.
Ниже мы будем иметь дело, как правило, с касательными векторами в единице группы и поэтому индекс е, указывающий на это, будем опускать. Вместо этого будем приписывать кривой индекс, указывающий на соответствующий касательный вектор, то есть кривую будем задавать как соответствие т —> Очевидно, что каждому касательному вектору соответствует класс эквивалентных кривых.
Касательное пространства к группе G в точке g = е — это множество всех касательных векторов (3.13). Будем обозначать его через Te(G). При фиксации локальных координат156
Глава 2,
пространство Te(G) изоморфно отображается на пространство М", элементами которого являются последовательности (о1,... , а"). Согласно общей теории гладких многообразий, Te также можно трактовать как множество классов эквивалентных гладких кривых на G, проходящих через точку е Є G.
3.26. Присоединенное представление группы G. Каждый элемент g E G задает отображение группы G в себя: gi —»• ggig"1. Это отображение является диффеоморфизмом, оставляющим неподвижной единицу группы. Дифференциалом этого отображения является линейное невырожденное преобразование пространства Te(G). Оно обозначается через Ad g или Adir:
(AAeA) f = A'f = J: HggA^g'1)^. (3.14)
Легко проверить, что отображение g —> Adff является гомоморфизмом группы G в группу GL(Te) линейных преобразований пространства Te. Его ядром является центр группы G. Этот гомоморфизм называют присоединенным представлением группы G, а линейное преобразование А —> AdffA — присоединенным действием элемента g Є G.
В локальных координатах {?'(#)} с помощью разложений (3.1) и (3.2) получаем
п
^nggA(T)g-1)|т=0 = Oi + S ((аЫ - <*k)tk(g) + ..>'•
Отсюда для матрицы оператора Adff имеем разложение в ряд Тейлора
п
(Adff)J = <5j + ?4 /(g) + ... (3.15)
fc=i
3.2в. Структура алгебры Ли в касательном пространстве. Линейный оператор Adff гладко (аналитически) зависит от g Є G, а следовательно, от параметров а Є М, если g пробегает значения кривой er ge(<r) с касательным вектором В Є Te(G). Производная операторной функции Adffs§ 3. Локальное исследование групп Ли
157
по параметру er при er = 0 существует и также является линейным преобразованием пространства Te(G). Обозначим это преобразование через ad В, указывая на зависимость от касательного вектора к кривой er —> g?(cr):
w> •
<г=0
Действие оператора ad В на вектор А определяет в касательном пространстве Te(G) билинейную операцию между векторами В и А. Результат этой операции обозначают через [В,Л], то есть В: А (adВ)А = [.В,А]. Касательный вектор С = [В, Л] является функционалом, действующим на функции / Є C00(Ue) по формуле [B,A]f = ((BdB)A) f =
= ?(jp HgB(VteA(T)gB1(CT))W=O^ . (3.16)