Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что группы JIu являются топологическими группами и благодаря локальным гомеоморфизмам ip они несут на себе локально-компактную топологию пространства К". Поэтому все факты о топологических группах, изложенные в §4 гл. 1, относятся и к группам Ли.
2.2. Матричные группы Ли. Большой класс групп Ли составляют группы линейных преобразований векторных пространств. Если в пространстве зафиксирован базис, то линейные преобразования, являющиеся элементами той или иной группы, задаются невырожденными матрицами. Отдельные примеры матричных групп рассмотрены в гл. 1. Здесь мы значительно расширим этот список, рассмотрев, в частности,
g —^ {?>, ф}; cos в = g33,
g23 , g32
COSip —----, cos ф =
V1-Si3 V1-Sss
—m=. 06- § 2. Группы Ли. Матричные группы
141
полную линейную группу, ортогональные, псевдоортогональные, унитарные и симплектические группы.
2.2а. Полная линейная группа. Множество невырожденных линейных преобразований n-мерного вещественного пространства Vr образует группу GL(Vr), изоморфную вследствие существования базиса, группе GL(n, М) невырожденных вещественных матриц порядка п. Группа GI/(n,M)
является открытым подмножеством в пространст-
2
ве Mat (n, М) ~ Mn и состоит из двух открытых областей, в одном из которых определитель матриц g Є GL(n, К) положителен, а в другой — отрицателен. Матричные элементы матрицы g — ее естественные локальные координаты, определенные на всей группе GL(n, М). С этой точки зрения (х1/(п,М) — тривиальный пример аналитического многообразия. Операция умножения матриц определяет структуру группы Ли на нем, поскольку матричные элементы произведения матриц являются билинейными функциями от матричных элементов сомножителей, а матричные элементы обратной матрицы — рациональными функциями.
Аналогично определяется группа GL(n, С), являющаяся комплексной группой Ли, то есть комплексно-аналитическим многообразием с соответственно согласованной групповой операцией.
2.26. Ортогональная группа. Группа 0(п) определена в главе 1 как топологическая группа и алгебраическое многообразие, заданное в пространстве Mat (п, М) системой соотношений ортогональности
0(п) = {g Є Mat (n, R) I ^g = e}, (2.1)
где e — единичная матрица.
Покажем, что 0(п) является компактной группой Ли, то есть что алгебраическое многообразие (2.1) является компактным аналитическим многообразием и операция умножения матриц согласована с аналитической структурой. Параметризуем окрестность единицы группы 0(п) с помощью отображения Кэли [54]:
V-g~> t(g) = (е - g)(e + g) 1.
(2.2) 142
Глава 2,
Такое отображение существует для тех матриц g, для которых det (e+g) ф 0. Такие матрицы составляют окрестность Ue единицы группы О(п). Образом ортогональной матрицы при отображении (2.2) является кососимметрическая матрица. Действительно,
tT(g) = {е+^ГНе -Л = (e-g-^gg'He+g-1)-1 =
= -(e-g)(e+g)-1 = -t(g).
Кроме того, е + t(g) = е + {е— g)(e + g)~x = 2(е + g-)-1, откуда следует невырожденность матрицы e + t(g), а следовательно, существование обратного отображения <р-1: t(g) -ig = = (е — t(g))(e + t(g))-1. Таким образом, tp является гомеоморфизмом окрестности Ue С 0(п) на открытое множество пространства кососимметрических матриц. Локальными координатами элемента g є Ue являются матричные элементы № (g) матрицы t(g) — параметры, принимающие значения в открытой области пространства jjm(m-1)/2. бсли ^ ? [7е, то образуем окрестность U' = ^Ue и определим гомеоморфизм ip'-.U' -> Mm(m_1)/2, такой что
V Vs) = ?>(s) = t(g), g Є Ue. (2.3)
Таким образом параметризуем любую окрестность, не являющуюся окрестностью единицы, а следовательно, и всю группу. Нетрудно показать аналитическую согласованность координат (2.3) при разных g1. Операция умножения ортогональных матриц согласована с аналитической структурой на многообразии 0(п) вследствие тех же рассуждений, что и в случае группы GL(n, К).
Групповое многообразие 0(п) определено как замкнутое множество в линейном пространстве Mat(n, К). Если скалярное произведение определим как
(gi,gz) = Tr gxg, gug2 є Mat (п, К),
то пространство Mat (n, К) принимает структуру евклидового
2
пространства, изоморфного En . Поскольку для ортогональных матриц имеем Tr ggг = п, то группа 0(п) является замкнутым подмножеством на сфере Sn С En радиуса у/п и поэтому компактным многообразием. § 2. Группы Ли. Матричные группы 143
2.2в. Псевдоортогональная группа 0(р, q). Бели в вещественном пространстве Vr скалярное произведение -В(х, у) не положительно определенно и в каноническом базисе еі,в2,... ,е„ имеем ??(е*,е^) = bij, где
В = (bij) = diag (1,1,... , 1, -1, -1, ... , -1), p + q = n, р я
Tl
то В(х., у)= Y ^ijX1 у3 и естественным образом определяет-
i,}=1
ся псевдоортогональная группа 0(p,q):
0(р, q) = {g Є Mat (Ti5R)IstBg = В}. (2.4)
Как и в случае ортогональной группы, имеем det g = ±1 для g Є 0(p,q). Преобразования с единичным определителем образуют инвариантную подгруппу индекса 2, обозначаемую через SO(p,q).
