Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Множество всех касательных к многообразию M векторов образует топологическое пространство
T(M) = (J Tx(M). (1.7)
х?М
В этом пространстве задана проекция р: T(M) —> М, являющаяся отображением, сопоставляющим каждому вектору точку, в которой он касается многообразия. То есть пространство T(M) имеет структуру векторного расслоения, базой которого является многообразие М, а слоем над точкой х — касательное пространство Tx(M). Кроме этого, в пространство T(M) можно ввести структуру гладкого многообразия. Объясним это подробнее. Локальными картами на T(M) будем считать пары
(V1(Utl), V11), где P^(Uti) = U Tx(M) С T(M),
а отображение <Рц является распространением на P^1(U11) координатного отображения V1J-
Vti--P-1Wli) V^(U11) X К" С к2".
[дї(х)І
При этом, если Ax Є T(M), то Vli(Ax) = (vM(x), а*(ж)), где аг(х) — локальные координаты касательного вектора § 1. Элементы, анализа на многообразиях
123
в точке X. С учетом формулы (1.3) легко видеть, что карты (p-1(t//i), А» Є гладко согласованы. Образом множества р-1 (U11) при отображении является открытое множество в E2n. Имея на p-1(J7M) топологию прямого произведения P^(Uli) ~ Uli X Tx(M), можем утверждать, что отображение Ifll является гомеоморфизмом. Таким образом, в наличии все условия для определения структуры гладкого многообразия на T(M).
Расслоенное пространство T(M) вместе со структурой гладкого многообразия на нем называют касательным расслоением над М.
Аналогично определяется структура гладкого многообразия на
T-(M) = (J т;(М),
ХЄМ
которое вместе с проекцией р*: Tr(M) —> M называют ко-касательным расслоением. Координатное отображение <р*р, как и в предыдущем случае, определено на подмножествах p*_1(U?) (J Tx(M) и ставит в соответствие каждой ли-
x€Up
нейной форме ах Є Tr(M) координаты точки х и координаты формы ах, то есть ее значения на базисных векторах Xi Є Tx(M):
<P?(<*x) = (<P?(x), CCi(X) = Qi(Xi)).
1.4. Векторные поля и дифференциальные формы. Гладкое векторное поле на многообразии M определяем как дифференцирование коммутативной алгебры функций Cco(M). Более точно векторным полем будем называть линейное непрерывное отображение A: C00(M) C00(M), удовлетворяющее условию
A(h ¦ h) = (Ah) • h + /і • (Af2). (1.8)
Сравнивая (1.8) с условием (1.4) в определении касательного вектора, видим, что в каждой фиксированной точке X = хо значение векторного поля А является касательный вектор Axo Є Txo(M), такой что Axof = (Af)(x0). С этой 124
Глава 1
точки зрения векторное поле, заданное в открытой области U С М, задает отображение A:U T(M)1 такое что композиция роА является тождественным отображением на U. Такие отображения называют сечениями расслоения T(M).
В локальных координатах х —» {?*(ж)} векторные поля имеют вид дифференциальных операторов первого порядка и действуют на функции f(x) Є C00(U) по формуле
Координатное представление векторного поля в виде (1.9) легко получить, исходя из того, что его значение в каждой точке является касательным вектором. Функции al(x) = A(t*(x)) являются координатными функциями векторного поля А.
Линейное пространство гладких векторных полей на многообразии M будем обозначать через Sf(M). В этом пространстве естественно определена операция левого умножения на функции, то есть пространство Sf(M) является левым модулем над алгеброй гладких функций C00(M)'. Пространство Sf(U) векторных полей, заданных в области U С М, является левым модулем над алгеброй Cco(U). Векторные поля Xi = (х), как видно из формулы (1.9), составляют базис этого модуля.
Так как векторные поля — это отображения пространства C00(M) в себя, то определено произведение векторных полей как композиция отображений, а также их коммутатор: [A,B]f = A(Bf) — B(Af). Относительно этой операции пространство Sf(M) является бесконечномерной алгеброй Ли.
В локальных координатах векторное поле С, являющееся коммутатором векторных полей А = JZ аг(х)—~—
і dt' (х)
и B = У)Ь1(ж)—й—, имеет вид і dt'(x)
C = [A,B] = Y,
».J
аЧхШ-V(X)dai^
діЦх) v dt3(x)
д (1.10)
Ott (x) § 1. Элементы, анализа на многообразиях
125
Линейной дифференциальной формой (1 -формой) называют непрерывное /-линейное отображение пространства Sf(M) в пространство функций C00(M). /-Линейность дифференциальной формы а означает, что
a(hA+f2B) = fia(A) + f2a(B), A,BeP(M), fuf2 Є C00(M).
Очевидно, что в каждой фиксированной точке х Xo дифференциальная форма а задает линейную функцию aX0 Є Тї0(м), такую что C^0(Aro) = а(Л)(ж0). Поэтому дифференциальную 1-форму в открытой области UcM можно определить как гладкое отображение
a: U^Tt(M),
для которого композиция р* о а является тождественным отображением на U. Другими словами, 1 -формы являются сечениями расслоений Т*(М).
Пространство дифференциальных 1-форм на M обозначают через A1(M). Очевидно, что A1(M) является левым модулем над C00(M), a A1(U) является левым модулем над C00(U). Пусть (U,tp) — некоторая локальная карта на М. Как отмечалось, векторные поля Xi = —^— образуют базис левого
