Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Гладкой кривой на многообразии M называют гладкое отображение т -* х(т) некоторого интервала / С 1 (замкнутого, полузамкнутого или открытого) вещественной оси в М. (Сравните с определением гладкого пути в топологическом пространстве в § 4 гл. 1.) Будем считать, что интервал I Cffi содержит точку г = 0 и что ж(0) = Xo- В локальных координатах X -* (і*(ж)} кривая т —* х(т) задается набором функций ір(х(т)) = {^(т), і2(т),... , tn(r)}. Кривые т -* х(т) и т -* у(т), проходящие через точку X0 = ж(0) = у( 0), называют эквивалентными, если производные от их локальных координатных функций совпадают в этой точке, то есть
Хотя в определении эквивалентности и используются координатные функции, однако сама эквивалентность не зависит от их конкретного выбора.
Учитывая важность понятия касательного вектора, приведем три независимых определения для него.
Определение 1. Класс эквивалентных кривых, проходящих через точку Жо Є M, называют касательным вектором к многообразию в этой точке. Множество всех классов эквивалентности образует касательное пространство к многообразию M в точке х0, обозначаемое через Txo(M).
Комментируя это определение, заметим, что линейные операции на классах эквивалентных кривых определены фактически на их локальных представителях, то есть на функциях <р(х(т)) = {^(т),... ,t"(r)}, для которых ip(x0) = = (0,... ,0}. С этой точки зрения в определении 1 сильно эксплуатируется локальная система координат и оно не является удобным при вычислениях.
Определение 2. Касательным вектором к кривой т -* х(т) в точке X0 = ж(0) называют линейный непрерывный 120
Глава 1
функционал Axsi на пространстве C00(Uxo), действующий на функции / Є C00(Uxo) по формуле
Axof-= ?Wt))
(1.1)
При таком определении касательный вектор отождествляется с операцией взятия производной в направлении данной кривой. Очевидно, что класс эквивалентности кривой определяет один и тот же функционал. Поэтому определения 1 и 2 согласованы. Структура линейного пространства на множестве функционалов — касательных векторов, заданных формулой (1.1), очевидна.
В фиксированной локальной системе координат, в которой кривая задается набором функций т —> {^(т)}, действие (1.1) функционала Axo принимает вид
Формула (1.2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между функционалами Axo и наборами чисел
пч* л dti{T) а (ж0) =
dr
, і = 1,2,... ,п.
T=O
Эти числа являются локальными координатами касательного вектора. При замене локальных координат на многообразии {?*(ж)} {t'1(t1(x),t2(x),... ,tn(x))} они преобразуются по стандартному правилу
(аПхЛ
Oi(X0) а"'Ы = E ' (1-3)
которое берут за основу при определении вектора в классическом тензорном анализе.
Третье определение касательного вектора связано с понятием векторного поля и не использует понятия гладкой кривой. § 1. Элементы, анализа на многообразиях
121
Опредеяение 3. Касательным вектором к многообразию M в точке X0 называют линейный непрерывный функционал Axo в пространстве C00(Uxo), удовлетворяющий условию
A*0(h ¦ /2) = (AxJ1)Mxо) + h(x0)(Axof2). (1.4)
Очевидно, что для функционала из определении 1 условие (1.4) выполняется. Общим для них есть то, что на постоянных функциях f(x) = с имеем AxoC = 0. Действительно, для функционала Axo, определенного условием (1.4), имеем Ахо(с-с') = (АХйс)с' + с(АХас'). С другой стороны, условие линейности приводит к равенству Aco (с • d) = с(ЛХ()с'). Для •согласования этих условий необходимо положить Axoс = 0.
Условий линейности и соотношения (1.4) достаточно для вычисления действия функционала Axo, заданного определением 3, на функции / Є Cao(M) в локальных координатах. Чтобы найти соответствующую формулу, представим функцию из пространства Coc(M) в окрестности точки X0 соответствующим рядом Тейлора:
f(x) = /(so) + ?>«(*) - ё(х0)) (щ^) +
+ ?(«*(*) - ё(хOmi(X) - ti(xo))By(x). (1.5) і,І
Действуя на (1.5) функционалом Axo, определенным условием (1.4), получаем
(«і
где аг(хо) = AX0(t%(x)). Таким образом, касательный вектор в смысле определения 3 задается в фиксированной системе координат набором чисел {аг(жо)}. Как и в предыдущем случае, эти числа (координаты касательного вектора) при замене координат (і*(ж)} —»• {і''(ж)} преобразуются по формуле (1.3). Каждому набору (а*(а;о)} соответствует кривая т -> х(т), локальными координатами которой являются 122
Глава 1
функции ї(х(т)) = V(X0) + а1(х0)т, а следовательно, и касательный вектор в смысле определений 1 и 2.
Из формул (1.2) и (1.6) видно, что выбором локальных координат мы фиксируем базис в пространстве Txo(M), а следовательно, и структуру гладкого многообразия там. Элементами этого базиса являются функционалы X,-, действующие на
функции / є C00(Uxo) как производные: Xif =
Совместно с пространством Txo (M) будем рассматривать дуальное к нему пространство Txo(M), называемое кокаса-тельным пространством. Элементами пространства Txo(M) являются вещественные линейные функции (формы) от векторного аргумента Axo ETxo(M); если аХо є Txo(M), то аХо (Aco) Є К.
