Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
dt'(x)
модуля Sf(U). Дуальный базис в A1(U) образуют формы вг, для которых
Любая форма а Є A1 (U) в этом базисе имеет вид
а = CCi(X)ECtx(M).
і
Дифференциальной формой степени к (к-формой) называется /-полилинейное кососимметрическое отображение к экземпляров пространства Sf(M) в пространство функций C00(M). В каждой фиксированной точке х = Xo дифференциальная форма из степени к задает полилинейную фор- 126 Глава 2,
му wXo, являющуюся элементом внешней алгебры касательного пространства Txo(M): W10 Є Ak(Txo(M)) и для которой
иХо(АХо,ВХо, ...)= w(A, В,... )(х0).
Поэтому дифференциальную fc-форму можно определить как гладкую функцию, ставящую в соответствие точке многообразия элемент внешней алгебры, или, более строго, как гладкое отображение
w:M-> (J Лк(Тх(М)),
х€М
где (J Ak(Tx(M)) — расслоение внешних fc-форм над много-
хЄМ
образием М.
В пространстве дифференциальных форм естественно определена операция внешнего умножения как антисимметризация тензорного произведения форм. Относительно этой операции дифференциальные формы образуют градуированную алгебру Грассмана, обозначаемую через Л(M):
Л(M) = A0(M) © A1(M) © ... ф An(M),
где A0(M) = C00(M).
Внешнее дифференцирование. Определим в. градуированной алгебре A(M) линейное отображение d: Ak(M) —> —> Ак+1(М), повышающее степень дифференциальной формы и являющееся антидифференцированием в этой алгебру. Последнее означает, что для а Є Ak(M) и ? Є A(M) имеем
d(a A?) = da A? + (—l)*a Л d?. (1.11)
Дифференциальная форма da = d(a) — это форма степени fc+1, значения которой на векторных полях Ai, A2,... вы-
числяются по формуле
к+1
da(Ai,A2,... ,Ak+i) = ^(-ir1 ж t=i
x Aia(Ai,A2,...,аь...,Ak+i) + Y, (-1)^x
x a([Ai,Aj],Ai,... . ,A'j,... ,Ife+i), (1.12) § 1. Элементы, анализа на многообразиях 127
где штрихи возле некоторых аргументов формы а означают, что эти аргументы следует опустить. Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Пусть к = 0. Тогда A0(M) = C00(M) и согласно (1.12) имеем
df(I) = Af(x). (1.13)
~ 71 ¦ я
В локальных координатах, когда A = в*(ж)—^—і имеем
i=i dt'(x)
В частности, если подействовать оператором d на координатные функции tl(x), то получим формы dt1, канонически сопряженные с векторными полями Xi = d/dtl(x). Действительно, согласно (1.13) имеем dtl(Xj) = Xjt%(x) = 5]. Таким образом, dt1 = в1, то есть формы {dt1, dt2,..., dtn} образуют базис модуля A1(U). Совместно с функциями f Є Cco(U) они порождают алгебру A(U). Любая дифференциальная форма w Є Ap(U) представляется в виде
w= E ^hi2...ipdtU Adti2 A. ..Adti*, cjili2...,,, Є C00(M). »1<»2< —<Ір
2. Пусть к = 1 и а Є A1(M). Согласно (1.12) имеем da(A1,A2) = Aia(A2) - I2a(I1) - a{[h,I2]). (1.14)
В локальных координатах, когда a = J^aiCft*, для базисных
і
векторных полей Xi имеем
da(Xi,Xj) =
dctj(x) даі(х)
dtl(x) dt3(x) 3. Пусть к = 2 и и) Є A2(M). Согласно (1.12) имеем I2,13) = !^(М, Із) + І2и)(Із, I1) + ЛзЦЛі, I2) --Ц[ЛьІ2],1з) - w([I2,I3],h) - ^([13Ді]Д2). (1.15) 128 Глава 2,
В локальных координатах, когда и = Y^ Uijdtt A dV, для базис-~ "'.і ных векторных полей Xi получаем
А IV V dijJk(X) , dwki(x) Owij(X)
MXilXitXh) = + —— + -щ^.
Из формулы (1.12) вытекает соотношение (1.11) (достаточно доказать его в случае, когда а Є A1(M), и для функций / Є C00(M)) и важное свойство нильпотентности оператора d: d2 = 0. Соотношение (1.11), свойство нильпотентности и правило действия на скалярную функцию (1.13) однозначно определяют оператор d.
Операция свертки с векторным полем. Определим на Л(M) линейное отображение тд, зависимое от векторного поля и понижающее степень формы: тд: Afc(M) -» -)¦ Afe-1 (M). Если и Є Afc(M), то
(TaUJ)(A!,A2,... = w(A,A1,A2t... Д*-і).
Для / Є A0(M) положим Tjf = 0. Действуя на линейную форму а Є A1(M), оператор Тд переводит ее в функцию rjo. = = a(A)(x). В частности, т^df = d/(>l) = (А/)(ж).
Оператор г д называют оператором свертки с векторным полем. Его характеристической особенностью является правило действия на внешнее произведение двух дифференциальных форм:
TA(a A?) = (гда) Л? + (-l)fca Л (rA?),
где к — степень формы а. Очевидным является свойство нильпотентности оператора тд: (г д)2 = 0, вытекающее непосредственно из определения.
1.5. Интегральные кривые и потоки векторных полей. Гладкое векторное поле А на многообразии M в каждой локальной карте определяет автономную динамическую систему уравнений первого порядка, а именно,
dt*(x) ~
= Att(X) = аг(?(х),1?(х),... ,tn(x)). (1.16) § 1. Элементы, анализа на многообразиях
129
Решение этой системы с начальным условием ?'(#)1,-=0 = = t*(xо) определяет гладкую кривую г —> х(т), проходящую через точку Xq и заданную набором координатных функций It1(Z(T))5 t2(x(r)),... ,tn(x(r))\. Касательными векторами к этой кривой при различных т Є [а,Ь] С Ж являются значения векторного поля А(х(т)). Такую кривую называют интегральной кривой (или траекторией) векторного поля А.
Векторное поле на многообразии является глобальным объектом. При определенных условиях глобальный смысл можно придать и его интегральной кривой, гладко сшивая решения систем типа (1.16), определяющие интегральную кривую в различных локальных картах. Процедура построения глобальной траектории векторного поля базируется на некоторых свойствах решения системы (1.16), сформулированных в следующей теореме.
